En la reconnaissant comme somme/produit/quotient/composée de fonctions continues usuelles

Justifier la continuité d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^2$ par les opérations usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + 3xy - y^2 + 5$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Justifier la continuité d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^2$ par les opérations usuelles.

Le principe

On admet que les fonctions coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ , et que somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) et composée par une fonction continue d'une variable préservent la continuité.

La méthode

1
Je vérifie que le domaine d'étude est bien $\mathbb{R}^2$ tout entier (ou que le dénominateur ne s'annule pas si $f$ est une fraction).
2
Je rappelle que les fonctions coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ .
3
Je décompose $f$ comme une combinaison de ces fonctions coordonnées par sommes, produits, quotients et compositions par des fonctions usuelles continues sur $\mathbb{R}$ .
4
Je conclus que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ par les théorèmes d'opérations sur les fonctions continues.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + 3xy - y^2 + 5$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que le domaine d'étude est bien

\mathbb{R}^2

tout entier (ou que le dénominateur ne s'annule pas si

f

est une fraction).

$f$ est définie pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ , sans aucune restriction.

Étape 2 —

Je rappelle que les fonctions coordonnées

(x,y) \mapsto x

(x,y) \mapsto y

sont continues sur

\mathbb{R}^2

Les fonctions coordonnées $p_1 \colon (x,y) \mapsto x$ et $p_2 \colon (x,y) \mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 3 —

Je décompose

f

comme une combinaison de ces fonctions coordonnées par sommes, produits, quotients et compositions par des fonctions usuelles continues sur

\mathbb{R}

$f = p_1^2 + 3 p_1 p_2 - p_2^2 + 5$ s'écrit comme somme et produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 4 —

Je conclus que

f

est continue sur

\mathbb{R}^2

par les théorèmes d'opérations sur les fonctions continues.

Par opérations sur les fonctions continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ : c'est une fonction polynomiale de deux variables.

$f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Montrer que la fonction de Cobb-Douglas $f \colon (x,y) \mapsto x^{1/3} y^{2/3}$ est continue sur $(\mathbb{R}_+^*)^2$ , puis que son extension polynomiale $g \colon (x,y) \mapsto x^2 y^3$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x^2 - y}$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto \dfrac{x + y}{1 + x^2 + y^2}$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto \cos(x + y)\,\ln(1 + x^2 + y^2)$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

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