En vérifiant l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et en appliquant $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$

Établir que $X$ admet une variance et la calculer via la formule de Koenig-Huygens.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $V(X)$ .

L'objectif

Établir que $X$ admet une variance et la calculer via la formule de Koenig-Huygens.

Le principe

$X$ admet une variance si et seulement si $\mathbb{E}(X^2)$ existe (ce qui implique l'existence de $\mathbb{E}(X)$ ) ; on a alors $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ , où $\mathbb{E}(X^2)$ se calcule par le théorème de transfert : $\mathbb{E}(X^2) = \int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathbb{E}(X)$ existe en justifiant la convergence absolue de $\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et je la calcule.
Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?Voir
2
Je justifie l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ en établissant la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ (théorème de transfert appliqué à $g(t) = t^2$ ).
3
Je calcule $\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , par primitive ou intégration par parties.
4
J'applique la formule de Koenig-Huygens $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ pour obtenir la variance.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $V(X)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathbb{E}(X)

existe en justifiant la convergence absolue de

\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

, et je la calcule.

L'intégrale $\int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$ converge sur le segment $[0, 1]$ donc $\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Je justifie l'existence de

\mathbb{E}(X^2)

en établissant la convergence absolue de

\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

(théorème de transfert appliqué à

g(t) = t^2

$t \mapsto t^2$ est continue sur $[0, 1]$ donc $\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t$ converge absolument : $\mathbb{E}(X^2)$ existe.

Étape 3 —

Je calcule

\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

, par primitive ou intégration par parties.

On calcule $\mathbb{E}(X^2) = \int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t = \left[ \dfrac{t^3}{3} \right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$ .

Étape 4 —

J'applique la formule de Koenig-Huygens

V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2

pour obtenir la variance.

On applique Koenig-Huygens : $V(X) = \dfrac{1}{3} - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$ .

$V(X) = \dfrac{1}{12}$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)$ , $\lambda > 0$ . Calculer $V(X)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(t) = 2t$ pour $t \in [0, 1]$ et $0$ sinon. Calculer $V(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(t) = 3 t^2$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs. Calculer $V(X)$ .

Application autonome 3

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . Retrouver $V(X) = \sigma^2$ par la formule de Koenig-Huygens en utilisant $E(X) = \mu$ et $E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant l'existence de E(X2)\mathbb{E}(X^2)E(X2) et en appliquant V(X)=E(X2)−E(X)2V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et en appliquant $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$