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Comment classer un point critique (extremum local ou point col) à l'aide des valeurs propres de la hessienne ?

En calculant les valeurs propres de ∇2f(x0,y0)\nabla^2 f(x_0,y_0) et en lisant leurs signes

L'objectif

Déterminer la nature (minimum local, maximum local ou point col) d'un point critique d'une fonction C2\mathcal{C}^2.

Le principe

Si ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur un ouvert UU et (x0,y0)∈U(x_0,y_0)\in U est un point critique, alors lorsque les valeurs propres de ∇2f(x0,y0)\nabla^2 f(x_0,y_0) sont strictement de même signe, ff admet un extremum local strict (min si >0>0, max si <0<0), et lorsqu'elles sont strictement de signes opposés, (x0,y0)(x_0,y_0) est un point col.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur l'ouvert UU et que (x0,y0)(x_0,y_0) est bien un point critique.
  2. 2
    Je calcule les dérivées partielles d'ordre 22 et j'écris la hessienne \nabla^2 f(x_0,y_0)= $$\begin{pmatrix}\partial_{1,1}^2 f & \partial_{1,2}^2 f\\\partial_{2,1}^2 f & \partial_{2,2}^2 f\end{pmatrix}$$ évaluée en (x0,y0)(x_0,y_0).
    Voir
  3. 3
    Je calcule les deux valeurs propres λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 de cette matrice symétrique (par le polynôme caractéristique ou trace/déterminant).
    Voir
  4. 4
    Je conclus selon les signes : λ1,λ2>0⇒\lambda_1,\lambda_2>0\Rightarrow minimum local strict ; λ1,λ2<0⇒\lambda_1,\lambda_2<0\Rightarrow maximum local strict ; λ1λ2<0⇒\lambda_1\lambda_2<0\Rightarrow point col ; cas avec une valeur propre nulle : on ne conclut pas par cette méthode.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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