Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant $A^n = P D^n P^{-1}$

L'objectif

Exprimer $A^n$ explicitement pour tout $n \in \mathbb{N}$ lorsque $A$ est diagonalisable.

Le principe

Si $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, une récurrence immédiate donne $A^n = P D^n P^{-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , et $D^n$ se calcule en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

La méthode

1
Je diagonalise $A$ : je trouve $P$ inversible et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ avec $A = P D P^{-1}$ .
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
2
Je calcule $D^n = \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \dots, \lambda_n^n)$ .
3
Je calcule $P^{-1}$ et j'effectue le produit $A^n = P D^n P^{-1}$ .
4
Je conclus en donnant les coefficients de $A^n$ en fonction de $n$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En écrivant An=PDnP−1A^n = P D^n P^{-1}An=PDnP−1

Exemple corrigé

En écrivant $A^n = P D^n P^{-1}$