Comment calculer $V(X_1+\dots+X_n)$ pour des variables aléatoires indépendantes ? | MetMat

Comment calculer $V(X_1+\dots+X_n)$ pour des variables aléatoires indépendantes ?

En appliquant $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle

Calculer la variance d'une somme de variables aléatoires en sommant leurs variances, sous hypothèse d'indépendance mutuelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ . Retrouver $V(X)=np(1-p)$ en écrivant $X$ comme somme de $n$ Bernoulli indépendantes.

L'objectif

Calculer la variance d'une somme de variables aléatoires en sommant leurs variances, sous hypothèse d'indépendance mutuelle.

Le principe

Si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et admettent chacune un moment d'ordre $2$ , alors $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ . Sans indépendance, l'égalité est en général fausse (il faut ajouter $2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ ).

La méthode

1
Je vérifie que les variables $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et que chacune admet un moment d'ordre $2$ (donc une variance $V(X_i)$ ).
2
J'identifie chaque variance $V(X_i)$ (loi usuelle ou calcul $V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2$ ).
3
J'applique $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ et je calcule la somme pour obtenir une expression close.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ . Retrouver $V(X)=np(1-p)$ en écrivant $X$ comme somme de $n$ Bernoulli indépendantes.

Étape 1 —

Je vérifie que les variables

X_1,\dots,X_n

sont mutuellement indépendantes et que chacune admet un moment d'ordre

2

(donc une variance

V(X_i)

Par définition, $X=X_1+\dots+X_n$ avec les $X_i\sim\mathcal{B}(p)$ mutuellement indépendantes ; chaque $X_i$ admet une variance $V(X_i)=p(1-p)$ .

Étape 2 —

J'identifie chaque variance

V(X_i)

(loi usuelle ou calcul

V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2

Chaque $V(X_i)$ vaut $p(1-p)$ d'après le cours.

Étape 3 —

J'applique

V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)

et je calcule la somme pour obtenir une expression close.

Par indépendance mutuelle : $V(X)=\sum_{i=1}^{n}V(X_i)=\sum_{i=1}^{n}p(1-p)=np(1-p)$ .

$V(X)=np(1-p)$ .

Application guidée

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que $X_i\sim\mathcal{P}(\lambda_i)$ . Calculer $V(X_1+\dots+X_n)$ .

Application autonome 1

On lance $n$ fois un dé équilibré de manière indépendante ; soit $X_i$ le résultat du $i$ -ème lancer et $S_n=X_1+\dots+X_n$ . Calculer $V(S_n)$ .

Application autonome 2

Mise en garde : soient $X_1,X_2$ deux variables de Bernoulli de paramètre $\tfrac{1}{2}$ telles que $X_2=1-X_1$ . Calculer $V(X_1+X_2)$ et constater que la formule $V(X_1)+V(X_2)$ donne un résultat différent.

Application autonome 3

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}(\{-1, 0, 1\})$ (équiprobabilité sur trois valeurs). Calculer $V(X_1 + \dots + X_n)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant V ⁣(∑i=1nXi)=∑i=1nV(Xi)V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)V(∑i=1n​Xi​)=∑i=1n​V(Xi​) sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle