Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?

En appliquant le théorème du rang $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$

L'objectif

Obtenir le rang d'une application linéaire en déduisant l'une des dimensions à partir des deux autres.

Le principe

Théorème du rang : si $f \colon E \to F$ est linéaire avec $E$ de dimension finie, alors $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $E$ est de dimension finie (sinon le théorème du rang ne s'applique pas).
2
Je détermine $\dim \ker(f)$ (en résolvant le système $f(x) = 0$ et en exhibant une base).
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?Voir
3
Je note $\dim E$ , puis j'applique la formule $\mathrm{rg}(f) = \dim E - \dim \ker(f)$ .
4
Je conclus en énonçant explicitement la valeur du rang obtenu.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant le théorème du rang dim⁡ker⁡f+rg f=dim⁡E\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim Edimkerf+rgf=dimE