En utilisant numpy.random.choice à chaque étape selon les probabilités de transition

Approfondissement — Simuler en Python une trajectoire $(X_0, X_1, \\ldots, X_N)$ d'une chaîne de Markov dont on connaît la matrice de transition.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire une fonction Python simul_meteo(N) qui simule N+1 jours de la chaîne météo $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ en partant de l'état $0 = \\mathrm{Soleil}$ .

L'objectif

Approfondissement — Simuler en Python une trajectoire $(X_0, X_1, \\ldots, X_N)$ d'une chaîne de Markov dont on connaît la matrice de transition.

Le principe

Connaissant l'état courant $i = X_n$ , l'état suivant $X_{n+1}$ suit la loi donnée par la $i$ -ème ligne de $M$ ; la fonction numpy.random.choice(states, p=M[i]) tire un état selon cette loi, ce qui permet de générer la trajectoire de proche en proche.

La méthode

1
J'importe numpy puis je définis la liste des états (par exemple [0, 1, ..., r-1]) et la matrice $M$ comme un tableau numpy.
2
Je tire l'état initial $X_0$ selon la loi $V_0$ avec numpy.random.choice(states, p=V0), ou je le fixe directement.
3
Je boucle de $n = 0$ à $N - 1$ : à chaque étape, je tire $X_{n+1}$ avec numpy.random.choice(states, p=M[X_n]) et je l'ajoute à la trajectoire.
4
Je renvoie ou affiche la trajectoire complète $(X_0, X_1, \\ldots, X_N)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire une fonction Python simul_meteo(N) qui simule N+1 jours de la chaîne météo $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ en partant de l'état $0 = \\mathrm{Soleil}$ .

Étape 1 —

J'importe numpy puis je définis la liste des états (par exemple [0, 1, ..., r-1]) et la matrice

M

comme un tableau numpy.

import numpy as np ; states = [0, 1] ; M = np.array([[0.8, 0.2], [0.4, 0.6]]).

Étape 2 —

Je tire l'état initial

X_0

selon la loi

V_0

avec numpy.random.choice(states, p=V0), ou je le fixe directement.

On fixe l'état initial : X = 0 (jour ensoleillé), puis trajectoire = [X].

Étape 3 —

Je boucle de

n = 0

N - 1

: à chaque étape, je tire

X_{n+1}

avec numpy.random.choice(states, p=M[X_n]) et je l'ajoute à la trajectoire.

for n in range(N): X = np.random.choice(states, p=M[X]) ; trajectoire.append(X).

Étape 4 —

Je renvoie ou affiche la trajectoire complète

(X_0, X_1, \\ldots, X_N)

return trajectoire.

import numpy as np
def simul_meteo(N):
    states = [0, 1]
    M = np.array([[0.8, 0.2], [0.4, 0.6]])
    X = 0
    trajectoire = [X]
    for n in range(N):
        X = np.random.choice(states, p=M[X])
        trajectoire.append(X)
    return trajectoire

Application guidée

Estimer par simulation, à l'aide d'une fonction Python, la proportion de temps passée dans chacun des deux états sur $N = 10000$ étapes pour la chaîne météo précédente.

Application autonome 1

Simuler en Python la chaîne bonus-malus de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 & 0 \\ 0{,}8 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0 & 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ sur $N$ années, en partant de la classe $1$ .

Application autonome 2

Écrire une fonction Python qui simule $N$ étapes d'une chaîne de Markov à trois états de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ en partant de l'état $0$ .

Application autonome 3

Écrire en Python une fonction qui estime la proportion de temps passée dans chaque état sur $N = 10\,000$ étapes d'une chaîne de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .

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