En posant ∇f(x,y) = (∂₁f(x,y), ∂₂f(x,y))ᵀ

Donner l'expression du gradient $\nabla f(x,y)$ d'une fonction $\mathcal{C}^1$ en un point quelconque, puis en un point particulier.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le gradient de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + y^2$ en $(1, 2)$ .

L'objectif

Donner l'expression du gradient $\nabla f(x,y)$ d'une fonction $\mathcal{C}^1$ en un point quelconque, puis en un point particulier.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ , son gradient en $(x,y)$ est le vecteur colonne $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial_1 f(x,y) \\ \partial_2 f(x,y) \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je vérifie ou je rappelle que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ , condition pour parler de gradient.
2
Je calcule les dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?Voir
3
J'écris $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial_1 f(x,y) \\ \partial_2 f(x,y) \end{pmatrix}$ , puis j'évalue éventuellement en un point particulier.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le gradient de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + y^2$ en $(1, 2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie ou je rappelle que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^2

, condition pour parler de gradient.

$f$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule les dérivées partielles d'ordre 1

\partial_1 f(x,y)

\partial_2 f(x,y)

On a $\partial_1 f(x,y) = 2x$ et $\partial_2 f(x,y) = 2y$ .

Étape 3 —

J'écris

\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial_1 f(x,y) \\ \partial_2 f(x,y) \end{pmatrix}

, puis j'évalue éventuellement en un point particulier.

Donc $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}$ , et $\nabla f(1, 2) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

$\nabla f(1, 2) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer le gradient de la fonction de Cobb-Douglas $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y^3$ en $(1, 1)$ .

Application autonome 1

Calculer le gradient de $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x + y}$ en un point quelconque.

Application autonome 2

Calculer le gradient de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y - xy^3 + 4$ en $(2, -1)$ .

Application autonome 3

Calculer le gradient de $f : (x, y) \mapsto \ln(1 + x^2 + y^2)$ en $(1, 0)$ .

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