En appliquant le théorème du rang

Calculer la dimension de $\ker(f)$ ou $\mathrm{Im}(f)$ via le théorème du rang.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z, t) = (x + y, z + t)$ . Calculer $\dim \ker(f)$ .

L'objectif

Calculer la dimension de $\ker(f)$ ou $\mathrm{Im}(f)$ via le théorème du rang.

Le principe

Théorème du rang : pour toute application linéaire $f : E \to G$ avec $E$ de dimension finie, $\dim E = \dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f)$ où $\mathrm{rg}(f) = \dim \mathrm{Im}(f)$ .

La méthode

1
J'identifie $F$ comme $\ker(f)$ ou $\mathrm{Im}(f)$ pour une application linéaire $f : E \to G$ entre espaces de dimension finie.
2
Je calcule l'une des deux dimensions, $\mathrm{rg}(f)$ ou $\dim \ker(f)$ , par une méthode directe (image : rang d'une matrice ; noyau : résolution d'un système).
Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?Voir
3
J'applique l'égalité $\dim E = \dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f)$ pour en déduire l'autre.
4
Je conclus en donnant $\dim F$ .

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Exercice d'exemple

Soit $f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z, t) = (x + y, z + t)$ . Calculer $\dim \ker(f)$ .

Étape 1 —

J'identifie

F

comme

\ker(f)

\mathrm{Im}(f)

pour une application linéaire

f : E \to G

entre espaces de dimension finie.

$f$ est linéaire de $\mathbb{R}^4$ (dimension $4$ ) vers $\mathbb{R}^2$ , et $\ker(f) = \{(x,y,z,t) \mid x+y=0,\ z+t=0\}$ .

Étape 2 —

Je calcule l'une des deux dimensions,

\mathrm{rg}(f)

\dim \ker(f)

, par une méthode directe (image : rang d'une matrice ; noyau : résolution d'un système).

L'image $\mathrm{Im}(f)$ contient $f(1,0,0,0) = (1,0)$ et $f(0,0,1,0) = (0,1)$ qui forment une base de $\mathbb{R}^2$ : $\mathrm{rg}(f) = 2$ .

Étape 3 —

J'applique l'égalité

\dim E = \dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f)

pour en déduire l'autre.

Par le théorème du rang : $4 = \dim \ker(f) + 2$ , donc $\dim \ker(f) = 2$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant

\dim F

$\dim \ker(f) = 2$ .

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $f : X \mapsto AX$ de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ dans lui-même. Calculer $\dim \ker(f)$ .

Application autonome 1

Soit $f : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(P) = (P(0), P(1))$ . Calculer $\dim \mathrm{Im}(f)$ .

Application autonome 2

Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ et $\dim \ker(f)$ .

Application autonome 3

Soit $\varphi : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X]$ définie par $\varphi(P) = P'$ . Calculer $\dim \ker(\varphi)$ et $\mathrm{rg}(\varphi)$ .

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