En montrant que la matrice formée par les vecteurs en colonne est de rang $p$

Prouver qu'une famille de $p$ vecteurs est libre via le rang d'une matrice.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $((1, 2, 3), (0, 1, 4), (0, 0, 5))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille de $p$ vecteurs est libre via le rang d'une matrice.

Le principe

Une famille de $p$ vecteurs d'un espace vectoriel de dimension finie est libre si et seulement si la matrice obtenue en plaçant leurs coordonnées dans une base en colonnes est de rang $p$ .

La méthode

1
Je choisis une base de référence (la base canonique en général) et j'écris les coordonnées de chaque vecteur $v_i$ dans cette base.
2
Je place ces coordonnées en colonnes pour former une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ .
3
J'applique l'algorithme du pivot de Gauss à $A$ pour déterminer son rang.
4
Si $\mathrm{rg}(A) = p$ , je conclus que la famille est libre ; sinon ( $\mathrm{rg}(A) < p$ ), elle est liée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $((1, 2, 3), (0, 1, 4), (0, 0, 5))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je choisis une base de référence (la base canonique en général) et j'écris les coordonnées de chaque vecteur

v_i

dans cette base.

On utilise la base canonique de $\mathbb{R}^3$ ; les coordonnées des trois vecteurs sont déjà fournies.

Étape 2 —

Je place ces coordonnées en colonnes pour former une matrice

A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

On forme la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

J'applique l'algorithme du pivot de Gauss à

A

pour déterminer son rang.

$A$ est triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux $1, 1, 5$ non nuls : $\mathrm{rg}(A) = 3$ .

Étape 4 —

\mathrm{rg}(A) = p

, je conclus que la famille est libre ; sinon (

\mathrm{rg}(A) < p

), elle est liée.

Comme $\mathrm{rg}(A) = 3 = p$ , la famille est libre.

La famille est libre.

Application guidée

Étudier la liberté de la famille $((1, 2, 1), (2, 4, 2), (1, 0, 3))$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 1

Montrer que la famille $((1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1))$ est libre dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Montrer que la famille $((1, -1, 2), (3, 0, 1), (2, 1, -1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

La famille $(1 - X, 1 + X + X^2, X - X^2)$ est-elle libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ ?

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En montrant que la matrice formée par les vecteurs en colonne est de rang ppp

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que la matrice formée par les vecteurs en colonne est de rang $p$