Comment reconnaître et utiliser la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ?

En écrivant $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$

Modéliser une grandeur fluctuant autour d'une valeur moyenne par une loi normale et savoir en extraire les paramètres et la densité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La taille $X$ (en cm) d'un homme adulte est modélisée par $X \sim \mathcal{N}(175, 49)$ . Donner la densité, l'espérance, la variance et l'écart-type.

L'objectif

Modéliser une grandeur fluctuant autour d'une valeur moyenne par une loi normale et savoir en extraire les paramètres et la densité.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ : $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$ ; le graphe est une courbe en cloche symétrique autour de $\mu$ .

La méthode

1
J'identifie le modèle gaussien : la grandeur étudiée fluctue de manière symétrique autour d'une valeur centrale, donc $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ .
2
Je relève les paramètres : $\mu$ est l'espérance (centre de la cloche) et $\sigma^2$ la variance ( $\sigma$ étant l'écart-type, contrôlant la dispersion).
3
J'écris la densité $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ pour $t \in \mathbb{R}$ et je trace la cloche symétrique autour de $\mu$ , de hauteur $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ .
4
Je conclus : $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$ et $\sigma(X) = \sigma$ , et toute probabilité se calcule en passant à la loi centrée réduite (méthode dédiée).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La taille $X$ (en cm) d'un homme adulte est modélisée par $X \sim \mathcal{N}(175, 49)$ . Donner la densité, l'espérance, la variance et l'écart-type.

Étape 1 —

J'identifie le modèle gaussien : la grandeur étudiée fluctue de manière symétrique autour d'une valeur centrale, donc

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

La taille adulte fluctue autour d'une moyenne, son histogramme est en cloche : modèle gaussien $X \sim \mathcal{N}(175, 49)$ .

Étape 2 —

Je relève les paramètres :

\mu

est l'espérance (centre de la cloche) et

\sigma^2

la variance (

\sigma

étant l'écart-type, contrôlant la dispersion).

On lit $\mu = 175$ et $\sigma^2 = 49$ , donc $\sigma = 7$ .

Étape 3 —

J'écris la densité

f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

pour

t \in \mathbb{R}

et je trace la cloche symétrique autour de

\mu

, de hauteur

\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}

La densité est $f_X(t) = \frac{1}{7\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-175)^2}{98}\right)$ pour $t \in \mathbb{R}$ .

Étape 4 —

Je conclus :

E(X) = \mu

V(X) = \sigma^2

\sigma(X) = \sigma

, et toute probabilité se calcule en passant à la loi centrée réduite (méthode dédiée).

On conclut : $E(X) = 175$ cm, $V(X) = 49\,\mathrm{cm}^2$ , $\sigma(X) = 7$ cm.

$f_X(t) = \frac{1}{7\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-175)^2}{98}\right)$ , $E(X) = 175$ , $V(X) = 49$ , $\sigma = 7$ .

Application guidée

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Donner sa densité, ses moments et l'allure de sa courbe représentative.

Application autonome 1

Le poids $X$ (en g) d'un sachet de café suit $\mathcal{N}(250, 4)$ . Donner la densité, l'espérance, la variance et l'écart-type.

Application autonome 2

La durée de vie $X$ (en heures) d'une ampoule est modélisée par $X \sim \mathcal{N}(1200, 10\,000)$ . Donner la densité, l'espérance, la variance et l'écart-type.

Application autonome 3

Le score $X$ d'un test de QI est modélisé par $X \sim \mathcal{N}(100, 225)$ . Donner la densité, l'espérance, la variance et l'écart-type.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En écrivant fX(t)=1σ2π exp⁡ ⁣(−(t−μ)22σ2)f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)fX​(t)=σ2π​1​exp(−2σ2(t−μ)2​), E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ, V(X)=σ2V(X) = \sigma^2V(X)=σ2

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$