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Comment étudier la convergence en loi d'une chaîne de Markov vers son état stable ?

En diagonalisant MM et en analysant les puissances MnM^n

L'objectif

Démontrer que VnV_n converge vers l'état stable VV quand nto+inftyn \\to +\\infty, dans le cas d'un graphe probabiliste à deux ou trois états diagonalisable.

Le principe

Si MM est diagonalisable avec 11 pour valeur propre simple et toutes les autres valeurs propres lambda\\lambda vérifiant ∣lambda∣<1|\\lambda| < 1, alors DnD^n converge vers une matrice ne contenant qu'un seul 11 sur la diagonale, donc Mn=PDnP−1M^n = P D^n P^{-1} converge ; on en déduit que Vn=V0MnV_n = V_0 M^n converge vers un état stable indépendant de V0V_0.

La méthode
  1. 1
    Je diagonalise MM et j'identifie ses valeurs propres ; l'une d'elles vaut toujours 11 car MM est stochastique.
    Voir
  2. 2
    Je vérifie l'hypothèse : toutes les autres valeurs propres lambda\\lambda satisfont ∣lambda∣<1|\\lambda| < 1.
  3. 3
    Je calcule Mn=PDnP−1M^n = P D^n P^{-1} et je passe à la limite, en utilisant lambdanto0\\lambda^n \\to 0 pour ∣lambda∣<1|\\lambda| < 1, ce qui donne limnto+inftyMn\\lim_{n \\to +\\infty} M^n.
    Voir
  4. 4
    Je conclus que Vn=V0MnV_n = V_0 M^n converge vers une matrice ligne VV qui est l'unique état stable, et que cette limite ne dépend pas de V0V_0.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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