Comment construire la matrice de transition $M$ d'un graphe probabiliste ? | MetMat

Comment construire la matrice de transition $M$ d'un graphe probabiliste ?

En posant $m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])$ à partir du graphe probabiliste

Construire la matrice de transition $M$ d'une chaîne de Markov à partir de son graphe probabiliste.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Météo simplifiée à deux états $1 = \\mathrm{Soleil}$ et $2 = \\mathrm{Pluie}$ : s'il fait soleil, il fera soleil le lendemain avec probabilité $0{,}8$ ; s'il pleut, il fera pluie le lendemain avec probabilité $0{,}6$ . Donner $M$ .

L'objectif

Construire la matrice de transition $M$ d'une chaîne de Markov à partir de son graphe probabiliste.

Le principe

Le coefficient $m_{i,j}$ de la matrice de transition $M$ est la probabilité conditionnelle $P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])$ de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en une étape, c'est-à-dire le poids de l'arête orientée du sommet $i$ vers le sommet $j$ sur le graphe.

La méthode

1
Je numérote les sommets du graphe à partir de $1$ et je note $r$ le nombre total d'états de la chaîne de Markov $(X_n)$ .
2
Pour chaque couple $(i,j)$ d'états, je lis sur le graphe le poids de l'arête orientée allant de $i$ vers $j$ et je pose $m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])$ (en convenant qu'une arête absente correspond à un poids nul).
3
Je vérifie que la matrice $M = (m_{i,j})_{1 \\le i,j \\le r}$ est bien stochastique : tous ses coefficients sont positifs et la somme des coefficients de chaque ligne vaut $1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je numérote les sommets du graphe à partir de

1

et je note

r

le nombre total d'états de la chaîne de Markov

(X_n)

Je numérote les états : $1 = \\mathrm{Soleil}$ et $2 = \\mathrm{Pluie}$ , donc $r = 2$ .

Étape 2 —

Pour chaque couple

(i,j)

d'états, je lis sur le graphe le poids de l'arête orientée allant de

i

vers

j

et je pose

m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])

(en convenant qu'une arête absente correspond à un poids nul).

Je lis sur le graphe : $m_{1,1} = 0{,}8$ , $m_{1,2} = 0{,}2$ , $m_{2,1} = 0{,}4$ , $m_{2,2} = 0{,}6$ .

Étape 3 —

Je vérifie que la matrice

M = (m_{i,j})_{1 \\le i,j \\le r}

est bien stochastique : tous ses coefficients sont positifs et la somme des coefficients de chaque ligne vaut

1

Chaque ligne somme à $1$ et tous les coefficients sont dans $[0,1]$ : $M$ est bien une matrice stochastique.

$M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$

Application guidée

Bonus-malus d'assurance à trois classes $1, 2, 3$ : depuis la classe $1$ , on reste en $1$ avec probabilité $0{,}9$ et on passe en $2$ avec probabilité $0{,}1$ . Depuis la classe $2$ , on retourne en $1$ avec probabilité $0{,}8$ , on reste en $2$ avec probabilité $0{,}1$ et on passe en $3$ avec probabilité $0{,}1$ . Depuis la classe $3$ , on retourne en $2$ avec probabilité $0{,}7$ et on reste en $3$ avec probabilité $0{,}3$ . Donner $M$ .

Application autonome 1

Mini-PageRank à trois pages $A, B, C$ : depuis $A$ , le surfeur va en $B$ ou $C$ avec équiprobabilité. Depuis $B$ , il revient toujours en $A$ . Depuis $C$ , il va en $A$ avec probabilité $\\tfrac{1}{2}$ et en $B$ avec probabilité $\\tfrac{1}{2}$ . Donner $M$ .

Application autonome 2

Mobilité sociale à trois catégories $1 = \\mathrm{Ouvrier}$ , $2 = \text{Employé}$ , $3 = \\mathrm{Cadre}$ . Un fils d'ouvrier devient ouvrier avec probabilité $0{,}6$ , employé avec probabilité $0{,}3$ , cadre avec probabilité $0{,}1$ . Un fils d'employé devient ouvrier avec probabilité $0{,}2$ , employé avec probabilité $0{,}5$ , cadre avec probabilité $0{,}3$ . Un fils de cadre devient ouvrier avec probabilité $0{,}1$ , employé avec probabilité $0{,}3$ , cadre avec probabilité $0{,}6$ . Donner $M$ .

Application autonome 3

Modèle de fidélité client à deux états $1 = \text{Fidèle}$ , $2 = \mathrm{Perdu}$ . Un client fidèle le reste le mois suivant avec probabilité $0{,}85$ ; un client perdu revient avec probabilité $0{,}1$ . Donner $M$ .

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En posant mi,j=P[Xn=i]([Xn+1=j])m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])mi,j​=P[Xn​=i]​([Xn+1​=j]) à partir du graphe probabiliste

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])$ à partir du graphe probabiliste