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Comment construire la matrice de transition MM d'un graphe probabiliste ?

En posant mi,j=P[Xn=i]([Xn+1=j])m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j]) à partir du graphe probabiliste

L'objectif

Construire la matrice de transition MM d'une chaîne de Markov à partir de son graphe probabiliste.

Le principe

Le coefficient mi,jm_{i,j} de la matrice de transition MM est la probabilité conditionnelle P[Xn=i]([Xn+1=j])P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j]) de passer de l'état ii à l'état jj en une étape, c'est-à-dire le poids de l'arête orientée du sommet ii vers le sommet jj sur le graphe.

La méthode
  1. 1
    Je numérote les sommets du graphe à partir de 11 et je note rr le nombre total d'états de la chaîne de Markov (Xn)(X_n).
  2. 2
    Pour chaque couple (i,j)(i,j) d'états, je lis sur le graphe le poids de l'arête orientée allant de ii vers jj et je pose mi,j=P[Xn=i]([Xn+1=j])m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j]) (en convenant qu'une arête absente correspond à un poids nul).
  3. 3
    Je vérifie que la matrice M=(mi,j)1lei,jlerM = (m_{i,j})_{1 \\le i,j \\le r} est bien stochastique : tous ses coefficients sont positifs et la somme des coefficients de chaque ligne vaut 11.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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