Comment utiliser la fonction de répartition $\Phi$ de $\mathcal{N}(0,1)$ et la propriété $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ ? | MetMat

Comment utiliser la fonction de répartition $\Phi$ de $\mathcal{N}(0,1)$ et la propriété $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ ?

En centrant-réduisant puis en lisant la table de $\Phi$ et en appliquant $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$

Évaluer numériquement une probabilité de la forme $P(X \le a)$ ou $P(a \le X \le b)$ avec $X$ gaussienne en utilisant la table de $\Phi$ et la symétrie $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Calculer $P(Z \le -1{,}28)$ sachant $\Phi(1{,}28) \approx 0{,}8997$ .

L'objectif

Évaluer numériquement une probabilité de la forme $P(X \le a)$ ou $P(a \le X \le b)$ avec $X$ gaussienne en utilisant la table de $\Phi$ et la symétrie $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ .

Le principe

$\Phi$ désigne la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ ; $\Phi$ est continue, strictement croissante de $0$ à $1$ , $\Phi(0) = \tfrac{1}{2}$ , et la symétrie de la densité par rapport à $0$ donne $\forall x \in \mathbb{R},\ \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
Si $X$ n'est pas centrée réduite, je pose $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et je réécris l'événement en $X^*$ .
2
Je traduis la probabilité en valeurs $\Phi(\cdot)$ : $P(X^* \le u) = \Phi(u)$ , $P(X^* \ge u) = 1 - \Phi(u)$ , $P(u \le X^* \le v) = \Phi(v) - \Phi(u)$ .
3
Si l'argument est négatif, j'applique la symétrie $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ pour ne lire que des valeurs positives dans la table.
4
Je remplace par les valeurs de la table et je conclus numériquement.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Calculer $P(Z \le -1{,}28)$ sachant $\Phi(1{,}28) \approx 0{,}8997$ .

Étape 1 —

X

n'est pas centrée réduite, je pose

X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)

et je réécris l'événement en

X^*

$Z$ est déjà centrée réduite, pas de transformation à faire.

Étape 2 —

Je traduis la probabilité en valeurs

\Phi(\cdot)

P(X^* \le u) = \Phi(u)

P(X^* \ge u) = 1 - \Phi(u)

P(u \le X^* \le v) = \Phi(v) - \Phi(u)

$P(Z \le -1{,}28) = \Phi(-1{,}28)$ .

Étape 3 —

Si l'argument est négatif, j'applique la symétrie

\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

pour ne lire que des valeurs positives dans la table.

Par symétrie, $\Phi(-1{,}28) = 1 - \Phi(1{,}28)$ .

Étape 4 —

Je remplace par les valeurs de la table et je conclus numériquement.

Donc $P(Z \le -1{,}28) \approx 1 - 0{,}8997 = 0{,}1003$ .

$P(Z \le -1{,}28) \approx 0{,}1003$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{N}(20, 25)$ . Calculer $P(X \le 28)$ avec $\Phi(1{,}6) \approx 0{,}9452$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(100, 36)$ . Calculer $P(94 \le X \le 112)$ avec $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ et $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{N}(50, 16)$ . Calculer $P(X \geq 58)$ avec $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ . Calculer $P(-1{,}5 \leq X \leq 0{,}5)$ avec $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ et $\Phi(0{,}5) \approx 0{,}6915$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En centrant-réduisant puis en lisant la table de Φ\PhiΦ et en appliquant Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)Φ(−x)=1−Φ(x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En centrant-réduisant puis en lisant la table de $\Phi$ et en appliquant $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$