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Comment utiliser la fonction de répartition Φ\Phi de N(0,1)\mathcal{N}(0,1) et la propriété Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x) ?

En centrant-réduisant puis en lisant la table de Φ\Phi et en appliquant Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

L'objectif

Évaluer numériquement une probabilité de la forme P(X≤a)P(X \le a) ou P(a≤X≤b)P(a \le X \le b) avec XX gaussienne en utilisant la table de Φ\Phi et la symétrie Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x).

Le principe

Φ\Phi désigne la fonction de répartition de N(0,1)\mathcal{N}(0,1) ; Φ\Phi est continue, strictement croissante de 00 à 11, Φ(0)=12\Phi(0) = \tfrac{1}{2}, et la symétrie de la densité par rapport à 00 donne ∀x∈R, Φ(−x)=1−Φ(x)\forall x \in \mathbb{R},\ \Phi(-x) = 1 - \Phi(x) (résultat admis au BO).

La méthode
  1. 1
    Si XX n'est pas centrée réduite, je pose X∗=X−μσ∼N(0,1)X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1) et je réécris l'événement en X∗X^*.
  2. 2
    Je traduis la probabilité en valeurs Φ(⋅)\Phi(\cdot) : P(X∗≤u)=Φ(u)P(X^* \le u) = \Phi(u), P(X∗≥u)=1−Φ(u)P(X^* \ge u) = 1 - \Phi(u), P(u≤X∗≤v)=Φ(v)−Φ(u)P(u \le X^* \le v) = \Phi(v) - \Phi(u).
  3. 3
    Si l'argument est négatif, j'applique la symétrie Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x) pour ne lire que des valeurs positives dans la table.
  4. 4
    Je remplace par les valeurs de la table et je conclus numériquement.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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