En montrant que $u_n / v_n \to 0$

Démontrer que la suite $(u_n)$ est négligeable devant la suite $(v_n)$ au sens de la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $u_n = n$ vérifie $u_n = o(n^2)$ .

L'objectif

Démontrer que la suite $(u_n)$ est négligeable devant la suite $(v_n)$ au sens de la définition.

Le principe

Si $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors $u_n = o(v_n)$ équivaut à $\dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang $n_0$ , ce qui légitime le calcul du quotient $u_n/v_n$ pour $n \geq n_0$ .
2
Je forme le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ et je le simplifie (factorisations, croissances comparées, opérations sur les limites).
3
Je calcule la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ et je vérifie qu'elle vaut $0$ .
4
Je conclus que $u_n = o(v_n)$ par définition de la négligeabilité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $u_n = n$ vérifie $u_n = o(n^2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

v_n \neq 0

à partir d'un certain rang

n_0

, ce qui légitime le calcul du quotient

u_n/v_n

pour

n \geq n_0

Pour tout $n \geq 1$ , $v_n = n^2 > 0$ , donc le quotient $u_n/v_n$ est bien défini.

Étape 2 —

Je forme le quotient

\dfrac{u_n}{v_n}

et je le simplifie (factorisations, croissances comparées, opérations sur les limites).

Je forme $\dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n}$ .

Étape 3 —

Je calcule la limite de

\dfrac{u_n}{v_n}

et je vérifie qu'elle vaut

0

On a $\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que

u_n = o(v_n)

par définition de la négligeabilité.

Donc $n = o(n^2)$ .

$n = o(n^2)$ .

Application guidée

Montrer que $\ln(n) = o(n)$ .

Application autonome 1

Montrer que $n^{10} = o(2^n)$ .

Application autonome 2

Montrer que $u_n = \dfrac{n+1}{n^2+3}$ vérifie $u_n = o(1/\sqrt{n})$ .

Application autonome 3

Montrer que $u_n = \dfrac{1}{n^2}$ vérifie $u_n = o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ .

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