Comment montrer qu'une fonction est de classe C¹ (resp. C²) sur R² ?

En vérifiant que les dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2) existent et sont continues sur R²

L'objectif

Démontrer qu'une fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ou $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Le principe

Une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ si ses deux dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur $\mathbb{R}^2$ ; elle est de classe $\mathcal{C}^2$ si toutes ses dérivées partielles d'ordre 2 existent et sont continues.

La méthode

1
Je calcule les dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ en chaque point $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?Voir
2
Je justifie que ces dérivées partielles sont continues sur $\mathbb{R}^2$ par les opérations sur les fonctions continues, puis je conclus que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .
3
Pour la classe $\mathcal{C}^2$ , je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2 $\partial^2_{1,1} f$ , $\partial^2_{1,2} f$ , $\partial^2_{2,1} f$ , $\partial^2_{2,2} f$ , et je justifie qu'elles sont continues sur $\mathbb{R}^2$ pour conclure.
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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