En vérifiant que les dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2) existent et sont continues sur R²

Démontrer qu'une fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ou $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^3 + 2xy + y^2$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Démontrer qu'une fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ou $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Le principe

Une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ si ses deux dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur $\mathbb{R}^2$ ; elle est de classe $\mathcal{C}^2$ si toutes ses dérivées partielles d'ordre 2 existent et sont continues.

La méthode

1
Je calcule les dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ en chaque point $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?Voir
2
Je justifie que ces dérivées partielles sont continues sur $\mathbb{R}^2$ par les opérations sur les fonctions continues, puis je conclus que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .
3
Pour la classe $\mathcal{C}^2$ , je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2 $\partial^2_{1,1} f$ , $\partial^2_{1,2} f$ , $\partial^2_{2,1} f$ , $\partial^2_{2,2} f$ , et je justifie qu'elles sont continues sur $\mathbb{R}^2$ pour conclure.
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^3 + 2xy + y^2$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je calcule les dérivées partielles d'ordre 1

\partial_1 f(x,y)

\partial_2 f(x,y)

en chaque point

(x,y) \in \mathbb{R}^2

On calcule $\partial_1 f(x,y) = 3x^2 + 2y$ et $\partial_2 f(x,y) = 2x + 2y$ .

Étape 2 —

Je justifie que ces dérivées partielles sont continues sur

\mathbb{R}^2

par les opérations sur les fonctions continues, puis je conclus que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^2

Ces deux dérivées partielles sont des fonctions polynomiales, donc continues sur $\mathbb{R}^2$ : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 3 —

Pour la classe

\mathcal{C}^2

, je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2

\partial^2_{1,1} f

\partial^2_{1,2} f

\partial^2_{2,1} f

\partial^2_{2,2} f

, et je justifie qu'elles sont continues sur

\mathbb{R}^2

pour conclure.

On obtient $\partial^2_{1,1} f = 6x$ , $\partial^2_{1,2} f = 2$ , $\partial^2_{2,1} f = 2$ , $\partial^2_{2,2} f = 2$ ; toutes polynomiales donc continues sur $\mathbb{R}^2$ . Ainsi $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x + 2y}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que la fonction de Cobb-Douglas étendue $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y^3$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto \ln(1 + x^2 + y^2)$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto x \sin(y) + y \cos(x)$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

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