Comment résoudre un problème de… : En écrivant la solution générale puis en… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment résoudre un problème de Cauchy $X'=AX,\ X(t_0)=X_0$ ?

En écrivant la solution générale puis en déterminant les constantes via la condition initiale

Trouver l'unique fonction $t\mapsto X(t)$ solution de $X'=AX$ avec $X(t_0)=X_0$ , lorsque $A$ est diagonalisable de taille 2 ou 3.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre le problème de Cauchy $X'=AX$ , $X(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ , avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Trouver l'unique fonction $t\mapsto X(t)$ solution de $X'=AX$ avec $X(t_0)=X_0$ , lorsque $A$ est diagonalisable de taille 2 ou 3.

Le principe

Le théorème de Cauchy (admis au BO) garantit l'existence et l'unicité d'une solution de $X'=AX$ avec $X(t_0)=X_0$ ; pratiquement on écrit $X(t)=\sum c_i e^{\lambda_i t}V_i$ et on impose $X(t_0)=X_0$ , ce qui donne un système linéaire en $(c_1,\dots,c_n)$ .

La méthode

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Je résous d'abord le système homogène $X'=AX$ par diagonalisation : j'écris la solution générale $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ avec $c_1,\dots,c_n\in\mathbb{R}$ .
Comment résoudre $X'=AX$ lorsque $A$ est diagonalisable (taille 2 ou 3) ?Voir
2
J'écris la condition initiale $X(t_0)=X_0$ , ce qui donne $\sum c_i e^{\lambda_i t_0}V_i=X_0$ , soit un système linéaire en $(c_1,\dots,c_n)$ que je résous.
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Je substitue les valeurs trouvées pour obtenir l'unique solution $X(t)$ du problème de Cauchy.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre le problème de Cauchy $X'=AX$ , $X(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ , avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je résous d'abord le système homogène

X'=AX

par diagonalisation : j'écris la solution générale

X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i

avec

c_1,\dots,c_n\in\mathbb{R}

$A$ a pour valeurs propres $\lambda_1=2$ (vecteur $V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ) et $\lambda_2=4$ (vecteur $V_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ). Solution générale : $X(t)=c_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+c_2 e^{4t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'écris la condition initiale

X(t_0)=X_0

, ce qui donne

\sum c_i e^{\lambda_i t_0}V_i=X_0

, soit un système linéaire en

(c_1,\dots,c_n)

que je résous.

Condition initiale : $X(0)=c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ , d'où $\begin{cases} c_1+c_2=2 \\ -c_1+c_2=0 \end{cases}$ donc $c_1=c_2=1$ .

Étape 3 —

Je substitue les valeurs trouvées pour obtenir l'unique solution

X(t)

du problème de Cauchy.

Solution unique : $X(t)=e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+e^{4t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{2t}+e^{4t} \\ -e^{2t}+e^{4t} \end{pmatrix}$ .

$X(t)=\begin{pmatrix} e^{2t}+e^{4t} \\ -e^{2t}+e^{4t} \end{pmatrix}$ .

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Comment résoudre un problème de Cauchy X′=AX, X(t0)=X0X'=AX,\ X(t_0)=X_0X′=AX, X(t0​)=X0​ ?

En écrivant la solution générale puis en déterminant les constantes via la condition initiale

Pour comprendre, fais des exercices !

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