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Comment écrire la matrice hessienne d'une fonction de deux variables ?

En posant ∇²f(x,y) = matrice 2×2 des dérivées partielles secondes (symétrique pour f ∈ C²)

L'objectif

Donner l'expression de la matrice hessienne ∇2f(x,y)\nabla^2 f(x,y) en un point quelconque, puis en un point particulier.

Le principe

Si ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur R2\mathbb{R}^2, sa matrice hessienne en (x,y)(x,y) est la matrice symétrique \nabla^2 f(x,y) = $$\begin{pmatrix} \partial^2_{1,1} f(x,y) & \partial^2_{1,2} f(x,y) \\ \partial^2_{2,1} f(x,y) & \partial^2_{2,2} f(x,y) \end{pmatrix}$$ .

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur R2\mathbb{R}^2 pour pouvoir utiliser le théorème de Schwarz.
  2. 2
    Je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2 : ∂1,12f\partial^2_{1,1} f, ∂1,22f\partial^2_{1,2} f, ∂2,12f\partial^2_{2,1} f et ∂2,22f\partial^2_{2,2} f.
    Voir
  3. 3
    J'écris \nabla^2 f(x,y) = $$\begin{pmatrix} \partial^2_{1,1} f(x,y) & \partial^2_{1,2} f(x,y) \\ \partial^2_{2,1} f(x,y) & \partial^2_{2,2} f(x,y) \end{pmatrix}$$ et j'observe sa symétrie ; je l'évalue éventuellement en un point particulier.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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