En posant ∇²f(x,y) = matrice 2×2 des dérivées partielles secondes (symétrique pour f ∈ C²)

Donner l'expression de la matrice hessienne $\nabla^2 f(x,y)$ en un point quelconque, puis en un point particulier.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire la matrice hessienne de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + 3xy + 2y^2$ en un point quelconque.

L'objectif

Donner l'expression de la matrice hessienne $\nabla^2 f(x,y)$ en un point quelconque, puis en un point particulier.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ , sa matrice hessienne en $(x,y)$ est la matrice symétrique $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial^2_{1,1} f(x,y) & \partial^2_{1,2} f(x,y) \\ \partial^2_{2,1} f(x,y) & \partial^2_{2,2} f(x,y) \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ pour pouvoir utiliser le théorème de Schwarz.
2
Je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2 : $\partial^2_{1,1} f$ , $\partial^2_{1,2} f$ , $\partial^2_{2,1} f$ et $\partial^2_{2,2} f$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?Voir
3
J'écris $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial^2_{1,1} f(x,y) & \partial^2_{1,2} f(x,y) \\ \partial^2_{2,1} f(x,y) & \partial^2_{2,2} f(x,y) \end{pmatrix}$ et j'observe sa symétrie ; je l'évalue éventuellement en un point particulier.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire la matrice hessienne de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + 3xy + 2y^2$ en un point quelconque.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\mathbb{R}^2

pour pouvoir utiliser le théorème de Schwarz.

$f$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule les quatre dérivées partielles d'ordre 2 :

\partial^2_{1,1} f

\partial^2_{1,2} f

\partial^2_{2,1} f

\partial^2_{2,2} f

$\partial_1 f(x,y) = 2x + 3y$ , $\partial_2 f(x,y) = 3x + 4y$ , donc $\partial^2_{1,1} f = 2$ , $\partial^2_{1,2} f = 3$ , $\partial^2_{2,1} f = 3$ , $\partial^2_{2,2} f = 4$ .

Étape 3 —

J'écris

\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial^2_{1,1} f(x,y) & \partial^2_{1,2} f(x,y) \\ \partial^2_{2,1} f(x,y) & \partial^2_{2,2} f(x,y) \end{pmatrix}

et j'observe sa symétrie ; je l'évalue éventuellement en un point particulier.

Ainsi $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ; cette matrice est constante et bien symétrique.

$\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Écrire la matrice hessienne de la fonction de Cobb-Douglas $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y^3$ en $(1, 1)$ .

Application autonome 1

Écrire la matrice hessienne de $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x + y^2}$ en $(0, 0)$ .

Application autonome 2

Écrire la matrice hessienne de $f \colon (x,y) \mapsto x^3 + y^3 - 3xy$ en $(1, 1)$ .

Application autonome 3

Écrire la matrice hessienne de $f \colon (x, y) \mapsto x^2 y - y^3$ en $(2, 1)$ .

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