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Comment déterminer un état stable VV tel que V=VMV = V M ?

En résolvant le système V=VMV = V M avec sumvi=1\\sum v_i = 1

L'objectif

Déterminer une matrice ligne V=(v1,ldots,vr)V = (v_1, \\ldots, v_r) vérifiant V=VMV = V M et représentant une loi de probabilité.

Le principe

L'équation V=VMV = V M, ou de façon équivalente V(M−Ir)=0V(M - I_r) = 0, traduit que tV{}^t V est un vecteur propre de tM{}^t M associé à la valeur propre 11 ; cette équation laisse en général un degré de liberté que la condition de normalisation sumi=1rvi=1\\sum_{i=1}^{r} v_i = 1 permet de fixer, donnant un état stable interprété comme une loi de probabilité invariante.

La méthode
  1. 1
    J'écris V=(v1,ldots,vr)V = (v_1, \\ldots, v_r) avec les inconnues vige0v_i \\ge 0 et je traduis l'équation V=VMV = V M en un système linéaire de rr équations à rr inconnues.
  2. 2
    Je résous ce système : je m'attends à une famille de solutions à un paramètre près, car tV{}^t V doit être un vecteur propre de tM{}^t M associé à la valeur propre 11.
  3. 3
    J'ajoute la condition de normalisation v1+ldots+vr=1v_1 + \\ldots + v_r = 1 pour fixer le paramètre et j'en déduis l'état stable.
  4. 4
    Je vérifie que tous les viv_i obtenus sont positifs et j'interprète probabilistiquement VV comme la loi limite (sous réserve de convergence) de la chaîne.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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