Comment déterminer un état stable $V$ tel que $V = V M$ ? | MetMat

Comment déterminer un état stable $V$ tel que $V = V M$ ?

En résolvant le système $V = V M$ avec $\\sum v_i = 1$

Déterminer une matrice ligne $V = (v_1, \\ldots, v_r)$ vérifiant $V = V M$ et représentant une loi de probabilité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l'état stable de la chaîne météo associée à $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Déterminer une matrice ligne $V = (v_1, \\ldots, v_r)$ vérifiant $V = V M$ et représentant une loi de probabilité.

Le principe

L'équation $V = V M$ , ou de façon équivalente $V(M - I_r) = 0$ , traduit que ${}^t V$ est un vecteur propre de ${}^t M$ associé à la valeur propre $1$ ; cette équation laisse en général un degré de liberté que la condition de normalisation $\\sum_{i=1}^{r} v_i = 1$ permet de fixer, donnant un état stable interprété comme une loi de probabilité invariante.

La méthode

1
J'écris $V = (v_1, \\ldots, v_r)$ avec les inconnues $v_i \\ge 0$ et je traduis l'équation $V = V M$ en un système linéaire de $r$ équations à $r$ inconnues.
2
Je résous ce système : je m'attends à une famille de solutions à un paramètre près, car ${}^t V$ doit être un vecteur propre de ${}^t M$ associé à la valeur propre $1$ .
3
J'ajoute la condition de normalisation $v_1 + \\ldots + v_r = 1$ pour fixer le paramètre et j'en déduis l'état stable.
4
Je vérifie que tous les $v_i$ obtenus sont positifs et j'interprète probabilistiquement $V$ comme la loi limite (sous réserve de convergence) de la chaîne.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer l'état stable de la chaîne météo associée à $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

J'écris

V = (v_1, \\ldots, v_r)

avec les inconnues

v_i \\ge 0

et je traduis l'équation

V = V M

en un système linéaire de

r

équations à

r

inconnues.

Je pose $V = (a \\;\\; b)$ avec $a, b \\ge 0$ . L'équation $V = V M$ donne $\\begin{cases} a = 0{,}8 a + 0{,}4 b \\\\ b = 0{,}2 a + 0{,}6 b \\end{cases}$ .

Étape 2 —

Je résous ce système : je m'attends à une famille de solutions à un paramètre près, car

{}^t V

doit être un vecteur propre de

{}^t M

associé à la valeur propre

1

Les deux équations équivalent à $0{,}2 a = 0{,}4 b$ , soit $a = 2 b$ : la solution dépend d'un paramètre.

Étape 3 —

J'ajoute la condition de normalisation

v_1 + \\ldots + v_r = 1

pour fixer le paramètre et j'en déduis l'état stable.

La condition $a + b = 1$ donne $2b + b = 1$ , donc $b = \\tfrac{1}{3}$ et $a = \\tfrac{2}{3}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que tous les

v_i

obtenus sont positifs et j'interprète probabilistiquement

V

comme la loi limite (sous réserve de convergence) de la chaîne.

Les coefficients sont positifs : sur le long terme, le système passe en moyenne $\\tfrac{2}{3}$ du temps ensoleillé et $\\tfrac{1}{3}$ du temps pluvieux.

$V = \\left( \\dfrac{2}{3} \\;\\; \\dfrac{1}{3} \\right)$

Application guidée

Déterminer l'état stable de la chaîne PageRank avec $M = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Déterminer l'état stable du modèle de mobilité sociale $M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Déterminer l'état stable associé à $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Déterminer l'état stable associé à $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant le système V=VMV = V MV=VM avec sumvi=1\\sum v_i = 1sumvi​=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $V = V M$ avec $\\sum v_i = 1$