Comment montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ ? | MetMat

Comment montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ ?

En vérifiant que $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$

Démontrer (ou réfuter) que deux v.a. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P([X = i] \cap [Y = j]) = \dfrac{1}{2^{i + j}}$ pour $(i, j) \in (\mathbb{N}^*)^2$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

L'objectif

Démontrer (ou réfuter) que deux v.a. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Le principe

Définition (BO) : $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ , $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ .

La méthode

1
Je détermine la loi conjointe et les lois marginales de $X$ et $Y$ (cf. méthodes des questions précédentes).
Comment déterminer la loi conjointe d'un couple $(X, Y)$ ?Voir
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Pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ , je calcule le produit $P([X = x])\, P([Y = y])$ et je le compare à $P([X = x] \cap [Y = y])$ .
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Si l'égalité est vraie pour tous les couples, je conclus que $X$ et $Y$ sont indépendantes ; sinon, il suffit d'exhiber UN seul couple $(x_0, y_0)$ pour lequel l'égalité est en défaut afin de réfuter l'indépendance.
4
Je confirme la conclusion et, le cas échéant, j'utilise des conséquences (ex : $E(XY) = E(X)E(Y)$ , $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ ) pour vérifier la cohérence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P([X = i] \cap [Y = j]) = \dfrac{1}{2^{i + j}}$ pour $(i, j) \in (\mathbb{N}^*)^2$ . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Étape 1 —

Je détermine la loi conjointe et les lois marginales de

X

Y

(cf. méthodes des questions précédentes).

On a déjà calculé $P([X = i]) = \dfrac{1}{2^i}$ et $P([Y = j]) = \dfrac{1}{2^j}$ .

Étape 2 —

Pour tout

(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)

, je calcule le produit

P([X = x])\, P([Y = y])

et je le compare à

P([X = x] \cap [Y = y])

Pour $(i, j) \in (\mathbb{N}^*)^2$ : $P([X = i])\, P([Y = j]) = \dfrac{1}{2^i} \cdot \dfrac{1}{2^j} = \dfrac{1}{2^{i + j}} = P([X = i] \cap [Y = j])$ .

Étape 3 —

Si l'égalité est vraie pour tous les couples, je conclus que

X

Y

sont indépendantes ; sinon, il suffit d'exhiber UN seul couple

(x_0, y_0)

pour lequel l'égalité est en défaut afin de réfuter l'indépendance.

L'égalité est vérifiée pour tout couple, donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Étape 4 —

Je confirme la conclusion et, le cas échéant, j'utilise des conséquences (ex :

E(XY) = E(X)E(Y)

\mathrm{Cov}(X, Y) = 0

) pour vérifier la cohérence.

On vérifie : par indépendance $E(XY) = E(X) E(Y)$ , ce qui sera utile pour un calcul ultérieur de covariance (qui sera nulle).

$X$ et $Y$ sont indépendantes.

Application guidée

On lance deux dés équilibrés ; $X$ est le résultat du premier dé et $Y = \max(X, Z)$ avec $Z$ le résultat du second. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 1

Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ noires. On tire successivement et sans remise deux boules. $X = 1$ si la première est blanche, $0$ sinon ; $Y = 1$ si la seconde est blanche, $0$ sinon. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 2

Soit $(X, Y)$ de loi conjointe $P([X=i] \cap [Y=j]) = \dfrac{i+j}{18}$ pour $(i, j) \in \{1, 2\} \times \{1, 2, 3\}$ . Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 3

On lance deux dés équilibrés indépendamment. Soit $X$ le résultat du premier dé et $Y$ le résultat du second. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que P([X=x]∩[Y=y])=P([X=x]) P([Y=y])P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])P([X=x]∩[Y=y])=P([X=x])P([Y=y]) pour tout (x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$