Comment écrire la relation de récurrence $V_n = V_{n-1} M$ entre deux états successifs ? | MetMat

Comment écrire la relation de récurrence $V_n = V_{n-1} M$ entre deux états successifs ?

En interprétant la matrice ligne $V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))$

Établir et utiliser la relation matricielle $V_n = V_{n-1} M$ liant la loi de $X_n$ à celle de $X_{n-1}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Météo à deux états avec $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ (jour $0$ ensoleillé). Calculer $V_1$ .

L'objectif

Établir et utiliser la relation matricielle $V_n = V_{n-1} M$ liant la loi de $X_n$ à celle de $X_{n-1}$ .

Le principe

En notant $V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))$ la matrice ligne donnant la loi de $X_n$ , la formule des probabilités totales appliquée au système complet $([X_{n-1}=i])_{1 \\le i \\le r}$ fournit $P([X_n=j]) = \\sum_{i=1}^{r} m_{i,j} P([X_{n-1}=i])$ , ce qui s'écrit matriciellement $V_n = V_{n-1} M$ .

La méthode

1
Je définis la matrice ligne $V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))$ représentant la loi de $X_n$ et je vérifie que la somme de ses coefficients vaut $1$ .
2
J'applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $([X_{n-1}=i])_{1 \\le i \\le r}$ : $P([X_n=j]) = \\sum_{i=1}^{r} P_{[X_{n-1}=i]}([X_n=j]) P([X_{n-1}=i]) = \\sum_{i=1}^{r} m_{i,j} P([X_{n-1}=i])$ .
3
Je reconnais le produit matriciel ligne par colonne et je conclus $V_n = V_{n-1} M$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Météo à deux états avec $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ (jour $0$ ensoleillé). Calculer $V_1$ .

Étape 1 —

Je définis la matrice ligne

V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))

représentant la loi de

X_n

et je vérifie que la somme de ses coefficients vaut

1

Je pose $V_0 = (P([X_0=1]) \\;\\; P([X_0=2])) = (1 \\;\\; 0)$ : la somme des coefficients vaut $1$ .

Étape 2 —

J'applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements

([X_{n-1}=i])_{1 \\le i \\le r}

P([X_n=j]) = \\sum_{i=1}^{r} P_{[X_{n-1}=i]}([X_n=j]) P([X_{n-1}=i]) = \\sum_{i=1}^{r} m_{i,j} P([X_{n-1}=i])

La formule des probabilités totales donne $P([X_1=1]) = 0{,}8 \\times 1 + 0{,}4 \\times 0 = 0{,}8$ et $P([X_1=2]) = 0{,}2 \\times 1 + 0{,}6 \\times 0 = 0{,}2$ .

Étape 3 —

Je reconnais le produit matriciel ligne par colonne et je conclus

V_n = V_{n-1} M

Matriciellement, $V_1 = V_0 M = (1 \\;\\; 0) \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0{,}6 \\end{pmatrix} = (0{,}8 \\;\\; 0{,}2)$ .

$V_1 = (0{,}8 \\;\\; 0{,}2)$

Application guidée

Avec la même matrice $M$ et $V_0 = (0{,}5 \\;\\; 0{,}5)$ , calculer $V_1$ .

Application autonome 1

Pour la chaîne bonus-malus avec $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 & 0 \\ 0{,}8 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0 & 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ et un client qui démarre en classe $2$ ( $V_0 = (0 \\;\\; 1 \\;\\; 0)$ ), calculer $V_1$ .

Application autonome 2

Soit une chaîne à deux états $\{1, 2\}$ de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (0 \;\; 1)$ . Calculer $V_2$ .

Application autonome 3

Soit une chaîne à trois états de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \;\; 0 \;\; 0)$ . Calculer $V_1$ et $V_2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En interprétant la matrice ligne Vn=(P([Xn=1]),ldots,P([Xn=r]))V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))Vn​=(P([Xn​=1]),ldots,P([Xn​=r]))

Pour comprendre, fais des exercices !

En interprétant la matrice ligne $V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))$