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Comment utiliser le lemme des coalitions ?

En partitionnant {X1,…,Xn}\{X_1,\dots,X_n\} en deux sous-blocs et en appliquant le lemme : toute fonction du premier bloc est indépendante de toute fonction du second

L'objectif

Établir l'indépendance entre deux variables aléatoires construites comme fonctions de paquets disjoints d'une suite mutuellement indépendante.

Le principe

Lemme des coalitions (admis) : si X1,…,XnX_1,\dots,X_n sont mutuellement indépendantes et si 1≤p<n1\leq p<n, alors pour toute fonction ff de X1,…,XpX_1,\dots,X_p et toute fonction gg de Xp+1,…,XnX_{p+1},\dots,X_n, les variables aléatoires f(X1,…,Xp)f(X_1,\dots,X_p) et g(Xp+1,…,Xn)g(X_{p+1},\dots,X_n) sont indépendantes.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que les variables X1,…,XnX_1,\dots,X_n sont mutuellement indépendantes (hypothèse cruciale du lemme), puis je choisis une partition de {1,…,n}\{1,\dots,n\} en deux blocs disjoints II et JJ.
  2. 2
    J'identifie la fonction U=f((Xi)i∈I)U=f((X_i)_{i\in I}) et la fonction V=g((Xj)j∈J)V=g((X_j)_{j\in J}) qui m'intéressent (somme, produit, max, etc.) en m'assurant qu'elles ne dépendent que des variables de leur bloc respectif.
  3. 3
    J'applique le lemme des coalitions : UU et VV sont indépendantes ; je peux alors utiliser E(UV)=E(U)E(V)E(UV)=E(U)E(V), V(U+V)=V(U)+V(V)V(U+V)=V(U)+V(V), ou la convolution des lois selon ce que demande l'exercice.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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