En partitionnant $\{X_1,\dots,X_n\}$ en deux sous-blocs et en appliquant le lemme : toute fonction du premier bloc est indépendante de toute fonction du second

Établir l'indépendance entre deux variables aléatoires construites comme fonctions de paquets disjoints d'une suite mutuellement indépendante.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1,X_2,X_3,X_4$ des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes admettant des moments d'ordre $2$ . Montrer que $S=X_1+X_2$ et $P=X_3X_4$ sont indépendantes, puis calculer $\mathrm{Cov}(S,P)$ .

L'objectif

Établir l'indépendance entre deux variables aléatoires construites comme fonctions de paquets disjoints d'une suite mutuellement indépendante.

Le principe

Lemme des coalitions (admis) : si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et si $1\leq p<n$ , alors pour toute fonction $f$ de $X_1,\dots,X_p$ et toute fonction $g$ de $X_{p+1},\dots,X_n$ , les variables aléatoires $f(X_1,\dots,X_p)$ et $g(X_{p+1},\dots,X_n)$ sont indépendantes.

La méthode

1
Je vérifie que les variables $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes (hypothèse cruciale du lemme), puis je choisis une partition de $\{1,\dots,n\}$ en deux blocs disjoints $I$ et $J$ .
2
J'identifie la fonction $U=f((X_i)_{i\in I})$ et la fonction $V=g((X_j)_{j\in J})$ qui m'intéressent (somme, produit, max, etc.) en m'assurant qu'elles ne dépendent que des variables de leur bloc respectif.
3
J'applique le lemme des coalitions : $U$ et $V$ sont indépendantes ; je peux alors utiliser $E(UV)=E(U)E(V)$ , $V(U+V)=V(U)+V(V)$ , ou la convolution des lois selon ce que demande l'exercice.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que les variables

X_1,\dots,X_n

sont mutuellement indépendantes (hypothèse cruciale du lemme), puis je choisis une partition de

\{1,\dots,n\}

en deux blocs disjoints

I

J

Les variables $X_1,X_2,X_3,X_4$ sont mutuellement indépendantes par hypothèse ; je partitionne $\{1,2,3,4\}$ en $I=\{1,2\}$ et $J=\{3,4\}$ .

Étape 2 —

J'identifie la fonction

U=f((X_i)_{i\in I})

et la fonction

V=g((X_j)_{j\in J})

qui m'intéressent (somme, produit, max, etc.) en m'assurant qu'elles ne dépendent que des variables de leur bloc respectif.

Je pose $U=S=f(X_1,X_2)=X_1+X_2$ (fonction du bloc $I$ ) et $V=P=g(X_3,X_4)=X_3X_4$ (fonction du bloc $J$ ).

Étape 3 —

J'applique le lemme des coalitions :

U

V

sont indépendantes ; je peux alors utiliser

E(UV)=E(U)E(V)

V(U+V)=V(U)+V(V)

, ou la convolution des lois selon ce que demande l'exercice.

Par le lemme des coalitions, $S$ et $P$ sont indépendantes ; comme elles admettent un moment d'ordre $2$ (somme et produit de variables admettant un moment d'ordre $2$ et indépendantes), $\mathrm{Cov}(S,P)=0$ .

$S$ et $P$ sont indépendantes et $\mathrm{Cov}(S,P)=0$ .

Application guidée

On lance $5$ fois un dé équilibré de façon indépendante. On note $A=\max(X_1,X_2)$ et $B=\min(X_3,X_4,X_5)$ où $X_i$ est le résultat du $i$ -ème lancer. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendantes.

Application autonome 1

Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ des variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de paramètre $p\in\,]0,1[$ . Montrer que $S_n=X_1+\dots+X_n$ et $X_{n+1}$ sont indépendantes, puis en déduire $E(S_n X_{n+1})$ .

Application autonome 2

Soient $X_1, X_2, X_3$ des variables mutuellement indépendantes avec $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ ( $0 < p < 1$ ). Montrer que $U = X_1 X_2$ et $V = X_3$ sont indépendantes, puis calculer $E(UV)$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3, X_4$ iid de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . Montrer que $S = X_1 + X_2$ et $T = X_3 + X_4$ sont indépendantes, puis calculer $V(S + T)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En partitionnant {X1,…,Xn}\{X_1,\dots,X_n\}{X1​,…,Xn​} en deux sous-blocs et en appliquant le lemme : toute fonction du premier bloc est indépendante de toute fonction du second

Pour comprendre, fais des exercices !

En partitionnant $\{X_1,\dots,X_n\}$ en deux sous-blocs et en appliquant le lemme : toute fonction du premier bloc est indépendante de toute fonction du second