En montrant que l'image est engendrée par les images des vecteurs d'une base et en extrayant une famille libre

Décrire l'image d'une application linéaire $f \colon E \to F$ et en exhiber une base, en déduire son rang.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x + y, x - z)$ . Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ .

L'objectif

Décrire l'image d'une application linéaire $f \colon E \to F$ et en exhiber une base, en déduire son rang.

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base de $E$ , alors $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))$ ; il suffit ensuite d'en extraire une sous-famille libre maximale.

La méthode

1
Je fixe une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ (souvent la base canonique).
2
Je calcule les images $f(e_1), \ldots, f(e_n)$ : on a alors $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))$ .
3
J'examine les relations de dépendance entre ces images (à vue ou par pivot) pour extraire une sous-famille libre qui engendre encore $\mathrm{Im}(f)$ .
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
4
Je conclus : « $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(\ldots)$ , $\mathrm{rg}(f) = k$ ».

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x + y, x - z)$ . Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ .

Étape 1 —

Je fixe une base

\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)

E

(souvent la base canonique).

On prend la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 2 —

Je calcule les images

f(e_1), \ldots, f(e_n)

: on a alors

\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))

$f(e_1) = (1, 1)$ , $f(e_2) = (1, 0)$ , $f(e_3) = (0, -1)$ ; donc $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}((1,1), (1,0), (0,-1))$ .

Étape 3 —

J'examine les relations de dépendance entre ces images (à vue ou par pivot) pour extraire une sous-famille libre qui engendre encore

\mathrm{Im}(f)

Les vecteurs $(1,1)$ et $(1,0)$ sont libres dans $\mathbb{R}^2$ (non colinéaires), et $\mathbb{R}^2$ est de dimension $2$ , donc ils engendrent $\mathbb{R}^2$ .

Étape 4 —

Je conclus : «

\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(\ldots)

\mathrm{rg}(f) = k

».

Donc $\mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^2$ et $\mathrm{rg}(f) = 2$ ; $f$ est surjective.

$\mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^2$ , $\mathrm{rg}(f) = 2$ .

Application guidée

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x,y,z) = (x+y+z,\ 2x+2y+2z,\ -x-y-z)$ . Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ .

Application autonome 1

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2$ , $\varphi(P) = (P(0), P(1))$ . Déterminer $\mathrm{Im}(\varphi)$ .

Application autonome 2

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x, y) = (x + y, 2x - y, x + 4y)$ . Déterminer $\mathrm{Im}(f)$ et son rang.

Application autonome 3

Soit $D : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X]$ , $D(P) = P'$ . Déterminer $\mathrm{Im}(D)$ et $\mathrm{rg}(D)$ .

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