Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ? | MetMat

Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?

En écrivant $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$

Majorer la probabilité d'un écart $\\geq \\varepsilon$ entre $X$ et son espérance.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100,\\ 0{,}5)$ . Majorer $P([|X - 50| \\geq 10])$ .

L'objectif

Majorer la probabilité d'un écart $\\geq \\varepsilon$ entre $X$ et son espérance.

Le principe

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ , alors $\\forall \\varepsilon > 0,\\ P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre $2$ (donc $E(X)$ et $V(X)$ existent).
2
Je choisis $\\varepsilon > 0$ et j'écris l'inégalité : $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .
3
Je calcule $E(X)$ et $V(X)$ , puis je remplace dans la majoration et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100,\\ 0{,}5)$ . Majorer $P([|X - 50| \\geq 10])$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

admet un moment d'ordre

2

(donc

E(X)

V(X)

existent).

$X$ est binomiale donc admet un moment d'ordre $2$ : $E(X) = 100 \\times 0{,}5 = 50$ et $V(X) = 100 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 25$ .

Étape 2 —

Je choisis

\\varepsilon > 0

et j'écris l'inégalité :

P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}

Pour $\\varepsilon = 10 > 0$ : $P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{V(X)}{10^2} = \\dfrac{25}{100}$ .

Étape 3 —

Je calcule

E(X)

V(X)

, puis je remplace dans la majoration et je conclus.

Donc $P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{1}{4}$ .

$P([|X - 50| \\geq 10]) \\leq \\dfrac{1}{4}$ .

Application guidée

Soit $X$ telle que $E(X) = 0$ et $V(X) = 4$ . Majorer $P([|X| \\geq 5])$ .

Application autonome 1

Soit $X \\sim \\mathcal{P}(\\lambda)$ . Donner une majoration de $P([|X - \\lambda| \\geq k\\sqrt{\\lambda}])$ pour $k > 0$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Majorer $P([|X - 1/\lambda| \geq 2/\lambda])$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ . Majorer $P([|X - 1/2| \geq 1/3])$ .

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