Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?

En écrivant $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$

L'objectif

Majorer la probabilité d'un écart $\\geq \\varepsilon$ entre $X$ et son espérance.

Le principe

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ , alors $\\forall \\varepsilon > 0,\\ P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre $2$ (donc $E(X)$ et $V(X)$ existent).
2
Je choisis $\\varepsilon > 0$ et j'écris l'inégalité : $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$ .
3
Je calcule $E(X)$ et $V(X)$ , puis je remplace dans la majoration et je conclus.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En écrivant P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon])leqdfracV(X)varepsilon2P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}P([∣X−E(X)∣geqvarepsilon])leqdfracV(X)varepsilon2