Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?

En centrant-réduisant $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et en approximant par $\\mathcal{N}(0, 1)$

L'objectif

Approcher $P([a \\leq \\bar{X}_n \\leq b])$ via la loi normale centrée réduite.

Le principe

Si $(X_n)$ est i.i.d. avec $E(X_k) = m$ et $V(X_k) = \\sigma^2 \\neq 0$ , alors $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0, 1)$ (TCL admis).

La méthode

1
Je vérifie que les $X_k$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\\sigma^2 \\neq 0$ , et que $n$ est grand (typiquement $n \\geq 30$ ).
2
J'écris la probabilité demandée à l'aide de $\\bar{X}_n$ (ou de $S_n = X_1 + \\cdots + X_n$ ).
3
Je centre-réduis : $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et je transforme l'événement en un événement sur $\\bar{X}_n^*$ .
4
Par le TCL, j'approche $\\bar{X}_n^*$ par $Z \\sim \\mathcal{N}(0, 1)$ et je conclus avec $\\Phi$ : $P([a \\leq \\bar{X}_n^* \\leq b]) \\approx \\Phi(b) - \\Phi(a)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En centrant-réduisant barXn∗=dfracbarXn−msigma/sqrtn\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}barXn∗​=dfracbarXn​−msigma/sqrtn et en approximant par mathcalN(0,1)\\mathcal{N}(0, 1)mathcalN(0,1)

Exemple corrigé

En centrant-réduisant $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et en approximant par $\\mathcal{N}(0, 1)$