En calculant les deux rapports et en constatant leur inégalité, puis en concluant que les droites ne sont pas parallèles

Prouver que deux droites ne sont pas parallèles en utilisant la contraposée du théorème de Thalès.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $SA = 6\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 4\,\mathrm{cm}$ , $SB = 9\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 7\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $A$ , $A'$ alignés ; $S$ , $B$ , $B'$ alignés. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?

L'objectif

Prouver que deux droites ne sont pas parallèles en utilisant la contraposée du théorème de Thalès.

Le principe

Contraposée du théorème de Thalès : si $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés, $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés, et $\frac{SA'}{SA} \neq \frac{SB'}{SB}$ , alors $(A'B')$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.

La méthode

1
Vérifier les conditions d'alignement : $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés ET $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés.
2
Calculer le rapport $\frac{SA'}{SA}$ (sous forme de fraction réduite ou de décimal).
3
Calculer le rapport $\frac{SB'}{SB}$ (sous forme de fraction réduite ou de décimal).
4
Constater que $\frac{SA'}{SA} \neq \frac{SB'}{SB}$ , puis conclure : d'après la contraposée du théorème de Thalès, $(A'B')$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Vérifier les conditions d'alignement :

S

A

A'

sont alignés ET

S

B

B'

sont alignés.

$S$ , $A$ , $A'$ alignés ✓ et $S$ , $B$ , $B'$ alignés ✓.

Étape 2 —

Calculer le rapport

\frac{SA'}{SA}

(sous forme de fraction réduite ou de décimal).

$\frac{SA'}{SA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Étape 3 —

Calculer le rapport

\frac{SB'}{SB}

(sous forme de fraction réduite ou de décimal).

$\frac{SB'}{SB} = \frac{7}{9}$ .

Étape 4 —

Constater que

\frac{SA'}{SA} \neq \frac{SB'}{SB}

, puis conclure : d'après la contraposée du théorème de Thalès,

(A'B')

(AB)

ne sont pas parallèles.

$\frac{2}{3} = \frac{6}{9} \neq \frac{7}{9}$ , donc $\frac{SA'}{SA} \neq \frac{SB'}{SB}$ . D'après la contraposée du théorème de Thalès, $(A'B')$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.

$(A'B')$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.

Application guidée

On donne $SP = 5\,\mathrm{cm}$ , $SP' = 3\,\mathrm{cm}$ , $SQ = 10\,\mathrm{cm}$ , $SQ' = 7\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $P$ , $P'$ alignés ; $S$ , $Q$ , $Q'$ alignés. Déterminer si $(PQ)$ et $(P'Q')$ sont parallèles.

Application autonome 1

Dans une figure, $SM = 8\,\mathrm{cm}$ , $SM' = 6\,\mathrm{cm}$ , $SN = 12\,\mathrm{cm}$ , $SN' = 8\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $M$ , $M'$ alignés ; $S$ , $N$ , $N'$ alignés. Les droites $(MN)$ et $(M'N')$ sont-elles parallèles ?

Application autonome 2

On a $SA = 15\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 9\,\mathrm{cm}$ , $SB = 20\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 11\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $A$ , $A'$ alignés ; $S$ , $B$ , $B'$ alignés. $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?

Application autonome 3

On donne $SU = 10\,\mathrm{cm}$ , $SU' = 8\,\mathrm{cm}$ , $SV = 15\,\mathrm{cm}$ , $SV' = 13\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $U$ , $U'$ alignés ; $S$ , $V$ , $V'$ alignés. Déterminer si $(UV)$ et $(U'V')$ sont parallèles.

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