Comment construire l'image d'une… : En plaçant l'image de chaque point sur la… — 3e | MetMat

Comment construire l'image d'une figure par une homothétie ?

En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre $O$ , à une distance égale à $|k|$ fois la distance $OM$ , du même côté si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Construire l'image du triangle $ABC$ avec $A(1,0)$ , $B(3,0)$ , $C(2,2)$ par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = 2$ .

La méthode

1
Repérer le centre d'homothétie $O$ et le rapport $k$ (noter son signe et sa valeur absolue $|k|$ ).
2
Pour chaque sommet $M$ de la figure, tracer la droite $(OM)$ et mesurer la distance $OM$ .
3
Calculer $OM' = |k| \times OM$ .
4
Placer $M'$ sur la demi-droite $[OM)$ si $k > 0$ , ou sur la demi-droite opposée si $k < 0$ , à la distance $OM'$ de $O$ .
5
Répéter les étapes 2 à 4 pour chaque sommet, puis relier les points images pour obtenir la figure image.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Construire l'image du triangle $ABC$ avec $A(1,0)$ , $B(3,0)$ , $C(2,2)$ par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = 2$ .

Centre $O(0,0)$ , rapport $k = 2 > 0$ , donc $|k| = 2$ . Les images sont du même côté que les points de départ.

$OA = 1$ , $OB = 3$ , $OC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$ .

$OA' = 2 \times 1 = 2$ , $OB' = 2 \times 3 = 6$ , $OC' = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ .

$k > 0$ donc même côté : $A'(2,0)$ , $B'(6,0)$ , $C'(4,4)$ .

On relie $A'$ , $B'$ , $C'$ pour obtenir le triangle image $A'B'C'$ .

Le triangle image $A'B'C'$ a pour sommets $A'(2,0)$ , $B'(6,0)$ et $C'(4,4)$ .

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Comment construire l'image d'une figure par une homothétie ?

En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre OOO, à une distance égale à ∣k∣|k|∣k∣ fois la distance OMOMOM, du même côté si k>0k > 0k>0, du côté opposé si k<0k < 0k<0

Pour comprendre, passons aux exercices.

En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre $O$ , à une distance égale à $|k|$ fois la distance $OM$ , du même côté si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$