En vérifiant qu'ils ont même direction, même sens et même norme

Déterminer si deux vecteurs sont égaux en comparant leur direction, leur sens et leur norme.

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs sont égaux en comparant leur direction, leur sens et leur norme.

Le principe

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ils ont la même direction (droites parallèles ou confondues), le même sens et la même norme ( $AB = CD$ ).

La méthode

1
Vérifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (même direction).
2
Vérifier qu'ils vont dans le même sens (de $A$ vers $B$ et de $C$ vers $D$ dans la même direction).
3
Vérifier qu'ils ont la même norme : $AB = CD$ .
4
Conclure : si les trois conditions sont vérifiées, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ; sinon ils sont différents.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,1)$ , $C(3\,;\,2)$ , $D(5\,;\,3)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

Étape 1 —

Vérifier que les droites

(AB)

(CD)

sont parallèles (même direction).

Les vecteurs ont les mêmes coordonnées $(2\,;\,1)$ , donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Étape 2 —

Vérifier qu'ils vont dans le même sens (de

A

vers

B

et de

C

vers

D

dans la même direction).

Les deux vecteurs vont vers le haut et la droite : même sens.

Étape 3 —

Vérifier qu'ils ont la même norme :

AB = CD

$AB = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ et $CD = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ : même norme.

Étape 4 —

Conclure : si les trois conditions sont vérifiées,

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

; sinon ils sont différents.

Les trois conditions sont remplies, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : ils ont même direction, même sens et même norme $\sqrt{5}$ .

Application guidée

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,0)$ , $C(1\,;\,2)$ , $D(4\,;\,2)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

Application autonome 1

On donne $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,0)$ , $C(0\,;\,1)$ , $D(2\,;\,1)$ . Comparer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ .

Application autonome 2

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,2)$ , $C(3\,;\,0)$ , $D(4\,;\,2)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

Application autonome 3

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,1)$ , $C(0\,;\,2)$ , $D(3\,;\,3)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

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