Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ? | MetMat

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

L'objectif

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

Le principe

Quatre points $A$ , $B$ , $D$ , $C$ forment un parallélogramme $ABDC$ (dans cet ordre) si et seulement si les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu. Dans ce cas, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

La méthode

1
Identifier les quatre points : l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ correspond au parallélogramme $ABDC$ (attention à l'ordre).
2
Calculer le milieu $I$ de la diagonale $[AD]$ : $I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)$ .
3
Calculer le milieu $J$ de la diagonale $[BC]$ : $J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)$ .
4
Si $I = J$ , conclure que $ABDC$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Étape 1 —

Identifier les quatre points : l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

correspond au parallélogramme

ABDC

(attention à l'ordre).

On cherche à montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.

Étape 2 —

Calculer le milieu

I

de la diagonale

[AD]

I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)

Milieu de $[AD]$ : $I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{1+4}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 3 —

Calculer le milieu

J

de la diagonale

[BC]

J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)

Milieu de $[BC]$ : $J = \left(\frac{4+2}{2}\,;\,\frac{2+3}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 4 —

I = J

, conclure que

ABDC

est un parallélogramme, donc

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

$I = J$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme, ce qui prouve que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

$ABDC$ est un parallélogramme (les diagonales ont le même milieu $\left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ ), donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application guidée

On donne $A(0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,1)$ , $D(4\,;\,3)$ , $C(1\,;\,2)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application autonome 1

On donne $P(2\,;\,1)$ , $Q(5\,;\,3)$ , $S(6\,;\,5)$ , $R(3\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ .

Application autonome 2

On donne $A(-1\,;\,2)$ , $B(2\,;\,4)$ , $D(3\,;\,1)$ , $C(0\,;\,-1)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application autonome 3

On donne $M(0\,;\,3)$ , $N(4\,;\,5)$ , $Q(5\,;\,0)$ , $P(1\,;\,-2)$ . Montrer que $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant que ABDCABDCABDC est un parallélogramme (si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}AB=DC)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )