Comment déterminer si deux vecteurs… : En montrant que ABDC est un parallélogramme (si… — 3e | MetMat

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

La méthode

1
Identifier les quatre points : l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ correspond au parallélogramme $ABDC$ (attention à l'ordre).
2
Calculer le milieu $I$ de la diagonale $[AD]$ : $I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)$ .
3
Calculer le milieu $J$ de la diagonale $[BC]$ : $J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)$ .
4
Si $I = J$ , conclure que $ABDC$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

On cherche à montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.

Milieu de $[AD]$ : $I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{1+4}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Milieu de $[BC]$ : $J = \left(\frac{4+2}{2}\,;\,\frac{2+3}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

$I = J$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme, ce qui prouve que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

$ABDC$ est un parallélogramme (les diagonales ont le même milieu $\left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ ), donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En montrant que ABDCABDCABDC est un parallélogramme (si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}AB=DC)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )