En calculant les deux rapports de longueurs et en vérifiant leur égalité, puis en concluant sur le parallélisme des droites

Prouver que deux droites sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $SA = 10\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 6\,\mathrm{cm}$ , $SB = 15\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 9\,\mathrm{cm}$ . Les points $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés et les points $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?

L'objectif

Prouver que deux droites sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.

Le principe

Réciproque du théorème de Thalès : si $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés, $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés, et $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$ , alors $(A'B') \parallel (AB)$ .

La méthode

1
Vérifier les conditions d'alignement : $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés ET $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés.
2
Calculer le rapport $\frac{SA'}{SA}$ (en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
3
Calculer le rapport $\frac{SB'}{SB}$ (en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
4
Comparer les deux rapports : si $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$ , conclure d'après la réciproque du théorème de Thalès que $(A'B') \parallel (AB)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Vérifier les conditions d'alignement :

S

A

A'

sont alignés ET

S

B

B'

sont alignés.

$S$ , $A$ , $A'$ alignés ✓ et $S$ , $B$ , $B'$ alignés ✓ : les conditions d'alignement sont vérifiées.

Étape 2 —

Calculer le rapport

\frac{SA'}{SA}

(en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).

$\frac{SA'}{SA} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Étape 3 —

Calculer le rapport

\frac{SB'}{SB}

(en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).

$\frac{SB'}{SB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ .

Étape 4 —

Comparer les deux rapports : si

\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}

, conclure d'après la réciproque du théorème de Thalès que

(A'B') \parallel (AB)

$\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{3}{5}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(A'B') \parallel (AB)$ .

Les droites $(A'B')$ et $(AB)$ sont parallèles.

Application guidée

On donne $SA = 8\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 4\,\mathrm{cm}$ , $SB = 12\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 6\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés et $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés. Prouver que $(A'B') \parallel (AB)$ .

Application autonome 1

On donne $SP = 3\,\mathrm{cm}$ , $SM = 9\,\mathrm{cm}$ , $SQ = 4\,\mathrm{cm}$ , $SN = 12\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $P$ , $M$ alignés ; $S$ , $Q$ , $N$ alignés. Les droites $(PQ)$ et $(MN)$ sont-elles parallèles ?

Application autonome 2

Dans une figure, $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés avec $SA = 7\,\mathrm{cm}$ et $SA' = 14\,\mathrm{cm}$ ; $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés avec $SB = 5\,\mathrm{cm}$ et $SB' = 10\,\mathrm{cm}$ . Prouver que $(AB) \parallel (A'B')$ .

Application autonome 3

On a $SO = 9\,\mathrm{cm}$ , $SO' = 6\,\mathrm{cm}$ , $ST = 15\,\mathrm{cm}$ , $ST' = 10\,\mathrm{cm}$ . $S$ , $O$ , $O'$ alignés ; $S$ , $T$ , $T'$ alignés. Les droites $(OT)$ et $(O'T')$ sont-elles parallèles ?

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