Comment utiliser la réciproque pour… : En calculant les deux rapports de longueurs et… — 3e | MetMat

Comment utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme ?

En calculant les deux rapports de longueurs et en vérifiant leur égalité, puis en concluant sur le parallélisme des droites

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $SA = 10\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 6\,\mathrm{cm}$ , $SB = 15\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 9\,\mathrm{cm}$ . Les points $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés et les points $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?

La méthode

1
Vérifier les conditions d'alignement : $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés ET $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés.
2
Calculer le rapport $\frac{SA'}{SA}$ (en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
3
Calculer le rapport $\frac{SB'}{SB}$ (en réduisant la fraction ou en donnant la valeur décimale).
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
4
Comparer les deux rapports : si $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$ , conclure d'après la réciproque du théorème de Thalès que $(A'B') \parallel (AB)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

$S$ , $A$ , $A'$ alignés ✓ et $S$ , $B$ , $B'$ alignés ✓ : les conditions d'alignement sont vérifiées.

$\frac{SA'}{SA} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

$\frac{SB'}{SB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ .

$\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{3}{5}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(A'B') \parallel (AB)$ .

Les droites $(A'B')$ et $(AB)$ sont parallèles.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.