En calculant $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}$ (moyenne pondérée) et en l'interprétant dans le contexte

Calculer la moyenne d'une série statistique présentée sous forme de tableau et l'interpréter dans la situation donnée.

L'objectif

Calculer la moyenne d'une série statistique présentée sous forme de tableau et l'interpréter dans la situation donnée.

Le principe

La moyenne pondérée tient compte de la répétition de chaque valeur : on multiplie chaque valeur $x_i$ par son effectif $n_i$ , on additionne tous ces produits, puis on divise par l'effectif total $\sum n_i$ . La moyenne se note $\bar{x}$ et s'exprime dans la même unité que les données.

La méthode

1
Repérer dans le tableau les valeurs $x_i$ et les effectifs $n_i$ correspondants, puis calculer l'effectif total $N = \sum n_i$ .
2
Calculer chaque produit $x_i \cdot n_i$ (valeur multipliée par son effectif).
3
Additionner tous les produits pour obtenir $\sum x_i \cdot n_i$ .
4
Diviser par l'effectif total : $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N}$ .
5
Interpréter le résultat dans le contexte : exprimer $\bar{x}$ avec son unité et expliquer ce qu'il représente (valeur « typique » de la série).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les notes d'une classe de 30 élèves sont résumées dans le tableau suivant. Calcule la moyenne et interprète-la. Notes : 8 (5 élèves), 10 (8 élèves), 12 (7 élèves), 14 (6 élèves), 16 (4 élèves).

Étape 1 —

Repérer dans le tableau les valeurs

x_i

et les effectifs

n_i

correspondants, puis calculer l'effectif total

N = \sum n_i

Effectif total : $N = 5 + 8 + 7 + 6 + 4 = 30$ .

Étape 2 —

Calculer chaque produit

x_i \cdot n_i

(valeur multipliée par son effectif).

Produits : $8 \times 5 = 40$ , $10 \times 8 = 80$ , $12 \times 7 = 84$ , $14 \times 6 = 84$ , $16 \times 4 = 64$ .

Étape 3 —

Additionner tous les produits pour obtenir

\sum x_i \cdot n_i

Somme des produits : $40 + 80 + 84 + 84 + 64 = 352$ .

Étape 4 —

Diviser par l'effectif total :

\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N}

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{352}{30} \approx 11{,}7$ .

Étape 5 —

Interpréter le résultat dans le contexte : exprimer

\bar{x}

avec son unité et expliquer ce qu'il représente (valeur « typique » de la série).

Interprétation : en moyenne, les élèves de cette classe ont obtenu environ 11,7 sur 20 à cette évaluation.

$\bar{x} \approx 11{,}7$ — la note moyenne de la classe est d'environ 11,7 sur 20.

Application guidée

Lors d'un sondage, 25 personnes ont indiqué le nombre d'heures de sport par semaine : 0 h (4 personnes), 2 h (9 personnes), 4 h (8 personnes), 6 h (4 personnes). Calcule la moyenne.

Application autonome 1

Un marchand de fruits a vendu des pommes à ces prix unitaires : 0,50 \text{€} (20 pommes), 0,80 \text{€} (15 pommes), 1,00 \text{€} (5 pommes). Quel est le prix moyen d'une pomme ?

Application autonome 2

Les températures relevées pendant 20 jours sont : 15 °C (3 jours), 18 °C (7 jours), 20 °C (6 jours), 23 °C (4 jours). Calcule la température moyenne.

Application autonome 3

Les durées de trajets (en minutes) de 20 employés sont : 10 min (4 employés), 20 min (8 employés), 30 min (5 employés), 45 min (3 employés). Calcule la durée moyenne du trajet.

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En calculant xˉ=∑xi⋅ni∑ni\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}xˉ=∑ni​∑xi​⋅ni​​ (moyenne pondérée) et en l'interprétant dans le contexte

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}$ (moyenne pondérée) et en l'interprétant dans le contexte