En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD

Obtenir la forme irréductible d'une fraction en une seule division par le PGCD.

L'objectif

Obtenir la forme irréductible d'une fraction en une seule division par le PGCD.

Le principe

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si et seulement si $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$ . En divisant $a$ et $b$ par leur PGCD, on obtient directement la fraction irréductible équivalente.

La méthode

1
Identifier le numérateur $a$ et le dénominateur $b$ de la fraction.
2
Calculer $d = \mathrm{PGCD}(a, b)$ (par décomposition en facteurs premiers ou par l'algorithme d'Euclide).
Comment trouver le PGCD de deux entiers ?Voir
3
Diviser le numérateur et le dénominateur par $d$ : la fraction irréductible est $\dfrac{a \div d}{b \div d}$ .
4
Vérifier que le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur sont premiers entre eux (leur PGCD vaut 1).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Rends la fraction $\dfrac{48}{36}$ irréductible.

Étape 1 —

Identifier le numérateur

a

et le dénominateur

b

de la fraction.

Le numérateur est $48$ et le dénominateur est $36$ .

Étape 2 —

Calculer

d = \mathrm{PGCD}(a, b)

(par décomposition en facteurs premiers ou par l'algorithme d'Euclide).

$48 = 2^4 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ , donc $\mathrm{PGCD}(48, 36) = 2^2 \times 3 = 12$ .

Étape 3 —

Diviser le numérateur et le dénominateur par

d

: la fraction irréductible est

\dfrac{a \div d}{b \div d}

On divise : $\dfrac{48 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{4}{3}$ .

Étape 4 —

Vérifier que le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur sont premiers entre eux (leur PGCD vaut 1).

$\mathrm{PGCD}(4, 3) = 1$ : la fraction est bien irréductible.

$\dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3}$

Application guidée

Rends la fraction $\dfrac{90}{126}$ irréductible.

Application autonome 1

Rends la fraction $\dfrac{56}{84}$ irréductible.

Application autonome 2

Rends la fraction $\dfrac{108}{144}$ irréductible.

Application autonome 3

Rends la fraction $\dfrac{72}{120}$ irréductible.

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