En décomposant l'assemblage en solides simples, en calculant chaque volume séparément et en les additionnant ou soustrayant

Calculer le volume total d'un solide obtenu par assemblage (juxtaposition ou évidement) de plusieurs solides simples.

L'objectif

Calculer le volume total d'un solide obtenu par assemblage (juxtaposition ou évidement) de plusieurs solides simples.

Le principe

Un assemblage de solides se décompose en solides élémentaires dont on connaît les formules de volume. Si les solides s'ajoutent, on additionne les volumes ; si l'un est évidé dans l'autre, on soustrait.

La méthode

1
Identifier et nommer les solides simples constituant l'assemblage (cylindre, cône, pyramide, prisme, boule…).
2
Relever les dimensions utiles de chaque solide (rayon, hauteur, côté de base, etc.) à partir de la figure ou de l'énoncé.
3
Calculer le volume de chaque solide simple à l'aide de sa formule.
4
Additionner les volumes si les solides se juxtaposent, ou soustraire si l'un est évidé dans l'autre, pour obtenir le volume total.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un solide est formé d'un cylindre de rayon $r = 4\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $h = 10\,\mathrm{cm}$ , surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur $H = 6\,\mathrm{cm}$ . Calcule le volume total arrondi au centième.

Étape 1 —

Identifier et nommer les solides simples constituant l'assemblage (cylindre, cône, pyramide, prisme, boule…).

L'assemblage est composé d'un cylindre (bas) et d'un cône (haut).

Étape 2 —

Relever les dimensions utiles de chaque solide (rayon, hauteur, côté de base, etc.) à partir de la figure ou de l'énoncé.

Cylindre : $r = 4\,\mathrm{cm}$ , $h = 10\,\mathrm{cm}$ . Cône : $r = 4\,\mathrm{cm}$ , $H = 6\,\mathrm{cm}$ .

Étape 3 —

Calculer le volume de chaque solide simple à l'aide de sa formule.

$V_{\mathrm{cylindre}} = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi\,\mathrm{cm}^3$ . $V_{\mathrm{cône}} = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \times 16 \times 6 = 32\pi\,\mathrm{cm}^3$ .

Étape 4 —

Additionner les volumes si les solides se juxtaposent, ou soustraire si l'un est évidé dans l'autre, pour obtenir le volume total.

$V_{\mathrm{total}} = 160\pi + 32\pi = 192\pi \approx 603{,}19\,\mathrm{cm}^3$ .

$V_{\mathrm{total}} \approx 603{,}19\,\mathrm{cm}^3$ .

Application guidée

Un jouet est formé d'un cube de côté $6\,\mathrm{cm}$ dans lequel on a évidé une demi-boule de rayon $3\,\mathrm{cm}$ centrée sur une face. Calcule le volume restant arrondi au centième.

Application autonome 1

Un vase est formé d'un prisme droit à base rectangulaire ( $5\,\mathrm{cm} \times 3\,\mathrm{cm}$ , hauteur $8\,\mathrm{cm}$ ) surmonté d'une pyramide à base rectangulaire identique et de hauteur $4\,\mathrm{cm}$ . Calcule le volume total.

Application autonome 2

Une sculpture est formée d'une boule de rayon $5\,\mathrm{cm}$ et d'un cylindre de rayon $2\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $12\,\mathrm{cm}$ posé contre un pôle de la boule (les deux solides sont distincts, leurs volumes s'additionnent). Calcule le volume total arrondi à l'unité.

Application autonome 3

Une pièce métallique est un cylindre de rayon $6\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $4\,\mathrm{cm}$ dans lequel on a percé un cylindre central de rayon $2\,\mathrm{cm}$ et de même hauteur. Calcule le volume de métal restant arrondi au centième.

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