Comment appliquer le théorème de… : En identifiant la configuration (triangles… — 3e | MetMat

Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?

En identifiant la configuration (triangles emboîtés ou papillon), en posant l'égalité des rapports de longueurs et en résolvant l'équation

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un triangle $SAB$ , la droite $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$ avec $S$ , $A'$ , $A$ alignés et $S$ , $B'$ , $B$ alignés. On donne $SA = 6\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 4\,\mathrm{cm}$ , $AB = 9\,\mathrm{cm}$ . Calculer $A'B'$ .

La méthode

1
Identifier la configuration : repérer le sommet $S$ et les deux droites parallèles $(AB) \parallel (A'B')$ , vérifier que $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés et que $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés.
2
Énoncer le théorème : « Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}$ ».
3
Identifier les longueurs connues et la longueur inconnue, puis isoler le rapport contenant l'inconnue.
4
Résoudre l'équation (produit en croix si nécessaire) pour trouver la longueur inconnue.
5
Vérifier la cohérence du résultat (la longueur doit être positive et vraisemblable dans le contexte).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

La configuration est un triangle emboîté de sommet $S$ , avec $(A'B') \parallel (AB)$ . $S$ , $A'$ , $A$ alignés ; $S$ , $B'$ , $B$ alignés.

D'après le théorème de Thalès : $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}$ .

On connaît $SA' = 4$ , $SA = 6$ , $AB = 9$ . L'inconnue est $A'B'$ . On utilise $\frac{SA'}{SA} = \frac{A'B'}{AB}$ , soit $\frac{4}{6} = \frac{A'B'}{9}$ .

$A'B' = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6\,\mathrm{cm}$ .

$6\,\mathrm{cm} < 9\,\mathrm{cm}$ : c'est cohérent car $A'B'$ est plus proche du sommet $S$ que $AB$ .

$A'B' = 6\,\mathrm{cm}$ .

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