En identifiant la configuration (triangles emboîtés ou papillon), en posant l'égalité des rapports de longueurs et en résolvant l'équation

Calculer une longueur inconnue dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou en papillon).

L'objectif

Calculer une longueur inconnue dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou en papillon).

Le principe

Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes issues d'un même point, alors les longueurs sont proportionnelles : $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}$ .

La méthode

1
Identifier la configuration : repérer le sommet $S$ et les deux droites parallèles $(AB) \parallel (A'B')$ , vérifier que $S$ , $A$ , $A'$ sont alignés et que $S$ , $B$ , $B'$ sont alignés.
2
Énoncer le théorème : « Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}$ ».
3
Identifier les longueurs connues et la longueur inconnue, puis isoler le rapport contenant l'inconnue.
4
Résoudre l'équation (produit en croix si nécessaire) pour trouver la longueur inconnue.
5
Vérifier la cohérence du résultat (la longueur doit être positive et vraisemblable dans le contexte).

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Exercice d'exemple

Dans un triangle $SAB$ , la droite $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$ avec $S$ , $A'$ , $A$ alignés et $S$ , $B'$ , $B$ alignés. On donne $SA = 6\,\mathrm{cm}$ , $SA' = 4\,\mathrm{cm}$ , $AB = 9\,\mathrm{cm}$ . Calculer $A'B'$ .

Étape 1 —

Identifier la configuration : repérer le sommet

S

et les deux droites parallèles

(AB) \parallel (A'B')

, vérifier que

S

A

A'

sont alignés et que

S

B

B'

sont alignés.

La configuration est un triangle emboîté de sommet $S$ , avec $(A'B') \parallel (AB)$ . $S$ , $A'$ , $A$ alignés ; $S$ , $B'$ , $B$ alignés.

Étape 2 —

Énoncer le théorème : « Les droites

(AB)

(A'B')

sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès :

\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}

».

D'après le théorème de Thalès : $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{A'B'}{AB}$ .

Étape 3 —

Identifier les longueurs connues et la longueur inconnue, puis isoler le rapport contenant l'inconnue.

On connaît $SA' = 4$ , $SA = 6$ , $AB = 9$ . L'inconnue est $A'B'$ . On utilise $\frac{SA'}{SA} = \frac{A'B'}{AB}$ , soit $\frac{4}{6} = \frac{A'B'}{9}$ .

Étape 4 —

Résoudre l'équation (produit en croix si nécessaire) pour trouver la longueur inconnue.

$A'B' = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6\,\mathrm{cm}$ .

Étape 5 —

Vérifier la cohérence du résultat (la longueur doit être positive et vraisemblable dans le contexte).

$6\,\mathrm{cm} < 9\,\mathrm{cm}$ : c'est cohérent car $A'B'$ est plus proche du sommet $S$ que $AB$ .

$A'B' = 6\,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Dans un triangle $SAB$ , $(A'B') \parallel (AB)$ . On donne $SA' = 3\,\mathrm{cm}$ , $SA = 5\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 2{,}4\,\mathrm{cm}$ . Calculer $SB$ .

Application autonome 1

Configuration en papillon : les droites $(AB)$ et $(A'B')$ se coupent en $O$ . On sait que $(AB) \parallel (A'B')$ , $OA = 5\,\mathrm{cm}$ , $OA' = 3\,\mathrm{cm}$ , $OB = 7{,}5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $OB'$ .

Application autonome 2

Dans un triangle $SMN$ , $(PQ) \parallel (MN)$ avec $S$ , $P$ , $M$ alignés et $S$ , $Q$ , $N$ alignés. On donne $SP = 2\,\mathrm{cm}$ , $PM = 4\,\mathrm{cm}$ , $SQ = 3\,\mathrm{cm}$ . Calculer $QN$ .

Application autonome 3

Dans un triangle $SOB$ , $(A'B') \parallel (OB)$ avec $S$ , $A'$ , $O$ alignés et $S$ , $B'$ , $B$ alignés. On donne $SA' = 5\,\mathrm{cm}$ , $A'O = 3\,\mathrm{cm}$ , $SB' = 10\,\mathrm{cm}$ . Calculer $B'B$ .

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