En résolvant algébriquement l'équation $f(x) = k$

Déterminer les antécédents d'une valeur $k$ par une fonction $f$ en résolvant $f(x) = k$ .

L'objectif

Déterminer les antécédents d'une valeur $k$ par une fonction $f$ en résolvant $f(x) = k$ .

Le principe

Un antécédent de $k$ par $f$ est un nombre $a$ tel que $f(a) = k$ . Pour trouver tous les antécédents, on résout l'équation $f(x) = k$ (il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs).

La méthode

1
Écrire l'équation à résoudre : $f(x) = k$ , en remplaçant $f(x)$ par son expression algébrique.
2
Résoudre l'équation en isolant $x$ (effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité).
3
Vérifier les solutions en recalculant $f(x)$ pour chaque valeur trouvée.
4
Conclure : « L'antécédent de $k$ par $f$ est $x = \ldots$ » (ou préciser qu'il n'y en a pas).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = 2x + 4$ . Détermine l'antécédent de $10$ par $f$ .

Étape 1 —

Écrire l'équation à résoudre :

f(x) = k

, en remplaçant

f(x)

par son expression algébrique.

On pose $f(x) = 10$ , soit $2x + 4 = 10$ .

Étape 2 —

Résoudre l'équation en isolant

x

(effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité).

$2x = 10 - 4 = 6$ , donc $x = 6 \div 2 = 3$ .

Étape 3 —

Vérifier les solutions en recalculant

f(x)

pour chaque valeur trouvée.

Vérification : $f(3) = 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10$ . ✓

Étape 4 —

Conclure : « L'antécédent de

k

par

f

est

x = \ldots

» (ou préciser qu'il n'y en a pas).

L'antécédent de $10$ par $f$ est $x = 3$ .

L'antécédent de $10$ par $f$ est $3$ .

Application guidée

Soit $g(x) = 5x - 3$ . Détermine l'antécédent de $7$ par $g$ .

Application autonome 1

Soit $h(x) = -3x + 6$ . Détermine l'antécédent de $0$ par $h$ .

Application autonome 2

Soit $f(x) = 4x$ . Détermine l'antécédent de $-12$ par $f$ .

Application autonome 3

Soit $f(x) = x + 7$ . Détermine l'antécédent de $3$ par $f$ .

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En résolvant algébriquement l'équation f(x)=kf(x) = kf(x)=k

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant algébriquement l'équation $f(x) = k$