Comment calculer ou encadrer la racine… : En identifiant les deux entiers consécutifs n… — 3e | MetMat

Comment calculer ou encadrer la racine carrée d'un nombre ?

En identifiant les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en affinant si nécessaire

Calculer la valeur exacte de $\sqrt{a}$ si $a$ est un carré parfait, ou encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs sinon.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\sqrt{49}$ .

L'objectif

Calculer la valeur exacte de $\sqrt{a}$ si $a$ est un carré parfait, ou encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs sinon.

Le principe

La racine carrée est une fonction croissante : si $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , alors $n \leq \sqrt{a} < n+1$ . On repère les deux carrés parfaits qui encadrent $a$ .

La méthode

1
Repérer si $a$ est un carré parfait (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…). Si oui, donner directement $\sqrt{a}$ .
2
Sinon, trouver l'entier $n$ tel que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ en listant les carrés parfaits autour de $a$ .
3
Conclure : $n < \sqrt{a} < n+1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\sqrt{49}$ .

Étape 1 —

Repérer si

a

est un carré parfait (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…). Si oui, donner directement

\sqrt{a}

$49 = 7^2$ , c'est un carré parfait, donc $\sqrt{49} = 7$ .

Étape 2 —

Sinon, trouver l'entier

n

tel que

n^2 \leq a < (n+1)^2

en listant les carrés parfaits autour de

a

$a$ est un carré parfait : pas besoin de chercher un encadrement.

Étape 3 —

Conclure :

n < \sqrt{a} < n+1

$\sqrt{49} = 7$ .

$\sqrt{49} = 7$

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Comment calculer ou encadrer la racine carrée d'un nombre ?

En identifiant les deux entiers consécutifs nnn et n+1n+1n+1 tels que n2≤a<(n+1)2n^2 \leq a < (n+1)^2n2≤a<(n+1)2, puis en affinant si nécessaire

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en affinant si nécessaire