Comment résoudre un problème de… : En calculant le PPCM des périodes, puis en… — 3e | MetMat

Comment résoudre un problème de conjonction de phénomènes périodiques ?

En calculant le PPCM des périodes, puis en répondant à la question posée

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Deux bus partent ensemble à 8h d'une même gare. Le premier revient toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. À quelle heure repartiront-ils à nouveau ensemble pour la première fois ?

La méthode

1
Identifier la période de chaque phénomène (intervalle de temps entre deux répétitions).
2
Décomposer chaque période en facteurs premiers.
Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?Voir
3
Calculer le $\mathrm{PPCM}$ des périodes : prendre chaque facteur premier au plus grand exposant et multiplier ces puissances.
4
Répondre à la question posée : la prochaine coïncidence a lieu après $\mathrm{PPCM}$ unités de temps, ou à la date initiale augmentée du $\mathrm{PPCM}$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Période du bus 1 : $12$ minutes. Période du bus 2 : $18$ minutes.

$12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$ .

$\mathrm{PPCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ minutes.

Les deux bus repartiront ensemble $36$ minutes après 8h, soit à $8\mathrm{h}\,36$ .

Les deux bus repartiront ensemble à $8\mathrm{h}\,36$ .

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