En isolant l'inconnue comme pour une équation, en inversant le sens de l'inégalité si on multiplie/divise par un nombre négatif

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et exprimer l'ensemble des solutions.

L'objectif

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et exprimer l'ensemble des solutions.

Le principe

Les opérations d'addition et de soustraction ne changent pas le sens d'une inégalité. En revanche, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif inverse le sens de l'inégalité (ex. : $<$ devient $>$ ).

La méthode

1
Développer et simplifier les deux membres si nécessaire.
2
Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les termes constants de l'autre (en ajoutant ou soustrayant le même terme des deux membres).
3
Diviser (ou multiplier) les deux membres par le coefficient de $x$ . Si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
4
Exprimer la solution sous la forme d'un intervalle ou d'une inégalité et l'interpréter.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $3x - 5 > 4$ .

Étape 1 —

Développer et simplifier les deux membres si nécessaire.

L'expression est déjà développée et simplifiée : $3x - 5 > 4$ .

Étape 2 —

Regrouper les termes en

x

d'un côté et les termes constants de l'autre (en ajoutant ou soustrayant le même terme des deux membres).

$3x - 5 > 4 \Rightarrow 3x > 4 + 5 \Rightarrow 3x > 9$ .

Étape 3 —

Diviser (ou multiplier) les deux membres par le coefficient de

x

. Si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.

On divise par $3$ (positif, sens conservé) : $x > 3$ .

Étape 4 —

Exprimer la solution sous la forme d'un intervalle ou d'une inégalité et l'interpréter.

Les solutions sont tous les réels strictement supérieurs à $3$ : $x \in ]3 ; +\infty[$ .

$x > 3$ , soit $x \in ]3 ; +\infty[$

Application guidée

Résoudre $-2x + 6 \leq 10$ .

Application autonome 1

Résoudre $5x + 3 < 2x + 12$ .

Application autonome 2

Résoudre $4 - 3x \geq 13$ .

Application autonome 3

Résoudre $2(x-1) > 3(x+4)$ .

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