Comment utiliser le rapport d'une homothétie pour calculer des longueurs ou des aires ? | MetMat

Comment utiliser le rapport d'une homothétie pour calculer des longueurs ou des aires ?

En multipliant les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$

Calculer des longueurs ou des aires sur la figure image en utilisant le rapport de l'homothétie.

L'objectif

Calculer des longueurs ou des aires sur la figure image en utilisant le rapport de l'homothétie.

Le principe

Pour une homothétie de rapport $k$ : toute longueur $AB$ devient $A'B' = |k| \times AB$ , et toute aire $\mathcal{A}$ devient $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ .

La méthode

1
Identifier le rapport $k$ de l'homothétie et calculer $|k|$ et $k^2$ .
2
Pour calculer une longueur sur la figure image : multiplier la longueur correspondante de la figure de départ par $|k|$ : $A'B' = |k| \times AB$ .
3
Pour calculer une longueur sur la figure de départ à partir de l'image : diviser la longueur de l'image par $|k|$ : $AB = \frac{A'B'}{|k|}$ .
4
Pour calculer une aire sur la figure image : multiplier l'aire de la figure de départ par $k^2$ : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un triangle $ABC$ a un périmètre de $18\,\mathrm{cm}$ . Il est transformé par une homothétie de rapport $k = 3$ . Quel est le périmètre du triangle image $A'B'C'$ ?

Étape 1 —

Identifier le rapport

k

de l'homothétie et calculer

|k|

k^2

$k = 3$ , donc $|k| = 3$ et $k^2 = 9$ .

Étape 2 —

Pour calculer une longueur sur la figure image : multiplier la longueur correspondante de la figure de départ par

|k|

A'B' = |k| \times AB

Chaque côté est multiplié par $3$ , donc le périmètre aussi : $\mathcal{P}' = 3 \times 18 = 54\,\mathrm{cm}$ .

Étape 3 —

Pour calculer une longueur sur la figure de départ à partir de l'image : diviser la longueur de l'image par

|k|

AB = \frac{A'B'}{|k|}

(Pas de longueur de départ à retrouver dans cet exercice.)

Étape 4 —

Pour calculer une aire sur la figure image : multiplier l'aire de la figure de départ par

k^2

\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}

(Pas d'aire demandée dans cet exercice.)

Le périmètre du triangle image est $54\,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Un rectangle $ABCD$ a une aire de $20\,\mathrm{cm}^2$ . Il est transformé par une homothétie de rapport $k = -2$ . Calculer l'aire du rectangle image.

Application autonome 1

Un côté $AB = 8\,\mathrm{cm}$ est transformé en $A'B' = 2\,\mathrm{cm}$ par une homothétie. Quel est le rapport $k$ ? Calculer l'aire de la figure image sachant que l'aire de départ est $48\,\mathrm{cm}^2$ .

Application autonome 2

Un disque de rayon $r = 5\,\mathrm{cm}$ subit une homothétie de rapport $k = \frac{1}{2}$ . Calculer le rayon et l'aire du disque image.

Application autonome 3

La figure image d'un triangle par une homothétie a une aire de $36\,\mathrm{cm}^2$ . Le rapport de l'homothétie est $k = -3$ . Quelle était l'aire du triangle de départ ?

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En multipliant les longueurs par ∣k∣|k|∣k∣ et les aires par k2k^2k2

Pour comprendre, fais des exercices !

En multipliant les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$