Comment utiliser le rapport d'une homothétie pour calculer des longueurs ou des aires ? | MetMat

Comment utiliser le rapport d'une homothétie pour calculer des longueurs ou des aires ?

En multipliant les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$

Calculer des longueurs ou des aires sur la figure image en utilisant le rapport de l'homothétie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un triangle $ABC$ a un périmètre de $18\,\mathrm{cm}$ . Il est transformé par une homothétie de rapport $k = 3$ . Quel est le périmètre du triangle image $A'B'C'$ ?

L'objectif

Calculer des longueurs ou des aires sur la figure image en utilisant le rapport de l'homothétie.

Le principe

Pour une homothétie de rapport $k$ : toute longueur $AB$ devient $A'B' = |k| \times AB$ , et toute aire $\mathcal{A}$ devient $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ .

La méthode

1
Identifier le rapport $k$ de l'homothétie et calculer $|k|$ et $k^2$ .
2
Pour calculer une longueur sur la figure image : multiplier la longueur correspondante de la figure de départ par $|k|$ : $A'B' = |k| \times AB$ .
3
Pour calculer une longueur sur la figure de départ à partir de l'image : diviser la longueur de l'image par $|k|$ : $AB = \frac{A'B'}{|k|}$ .
4
Pour calculer une aire sur la figure image : multiplier l'aire de la figure de départ par $k^2$ : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un triangle $ABC$ a un périmètre de $18\,\mathrm{cm}$ . Il est transformé par une homothétie de rapport $k = 3$ . Quel est le périmètre du triangle image $A'B'C'$ ?

Étape 1 —

Identifier le rapport

k

de l'homothétie et calculer

|k|

k^2

$k = 3$ , donc $|k| = 3$ et $k^2 = 9$ .

Étape 2 —

Pour calculer une longueur sur la figure image : multiplier la longueur correspondante de la figure de départ par

|k|

A'B' = |k| \times AB

Chaque côté est multiplié par $3$ , donc le périmètre aussi : $\mathcal{P}' = 3 \times 18 = 54\,\mathrm{cm}$ .

Étape 3 —

Pour calculer une longueur sur la figure de départ à partir de l'image : diviser la longueur de l'image par

|k|

AB = \frac{A'B'}{|k|}

(Pas de longueur de départ à retrouver dans cet exercice.)

Étape 4 —

Pour calculer une aire sur la figure image : multiplier l'aire de la figure de départ par

k^2

\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}

(Pas d'aire demandée dans cet exercice.)

Le périmètre du triangle image est $54\,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Un rectangle $ABCD$ a une aire de $20\,\mathrm{cm}^2$ . Il est transformé par une homothétie de rapport $k = -2$ . Calculer l'aire du rectangle image.

Application autonome 1

Un côté $AB = 8\,\mathrm{cm}$ est transformé en $A'B' = 2\,\mathrm{cm}$ par une homothétie. Quel est le rapport $k$ ? Calculer l'aire de la figure image sachant que l'aire de départ est $48\,\mathrm{cm}^2$ .

Application autonome 2

Un disque de rayon $r = 5\,\mathrm{cm}$ subit une homothétie de rapport $k = \frac{1}{2}$ . Calculer le rayon et l'aire du disque image.

Application autonome 3

La figure image d'un triangle par une homothétie a une aire de $36\,\mathrm{cm}^2$ . Le rapport de l'homothétie est $k = -3$ . Quelle était l'aire du triangle de départ ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En multipliant les longueurs par ∣k∣|k|∣k∣ et les aires par k2k^2k2

Pour comprendre, fais des exercices !

En multipliant les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$