En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en isolant et en calculant le côté inconnu

Calculer la longueur d'un côté inconnu d'un triangle rectangle à l'aide d'un angle aigu connu.

L'objectif

Calculer la longueur d'un côté inconnu d'un triangle rectangle à l'aide d'un angle aigu connu.

Le principe

On exprime la relation trigonométrique entre l'angle aigu connu et les deux côtés en jeu, puis on isole le côté inconnu en multipliant ou divisant des deux côtés.

La méthode

1
Repérer l'angle aigu connu et nommer les trois côtés du triangle par rapport à cet angle (hypoténuse, adjacent, opposé).
2
Choisir la relation trigonométrique qui relie l'angle connu aux deux côtés en jeu (dont l'un est inconnu) :
- $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Comment choisir la bonne ligne trigonométrique ?Voir
3
Écrire la relation avec les valeurs connues et l'inconnue, puis isoler le côté inconnu :
- Si l'inconnue est au numérateur : on multiplie les deux membres par le dénominateur.
- Si l'inconnue est au dénominateur : on divise le côté connu par la valeur trigonométrique.
4
Calculer la valeur numérique à l'aide de la calculatrice et arrondir si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $\hat{A} = 35°$ et $AB = 10\,\mathrm{cm}$ . Calculer $AC$ .

Étape 1 —

Repérer l'angle aigu connu et nommer les trois côtés du triangle par rapport à cet angle (hypoténuse, adjacent, opposé).

L'angle aigu connu est $\hat{A} = 35°$ . L'hypoténuse est $AB = 10$ , le côté adjacent est $AC$ , le côté opposé est $BC$ .

Étape 2 —

Choisir la relation trigonométrique qui relie l'angle connu aux deux côtés en jeu (dont l'un est inconnu) :

$\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

On a $AC$ (adjacent) et $AB$ (hypoténuse) → on utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB}$ .

Étape 3 —

Écrire la relation avec les valeurs connues et l'inconnue, puis isoler le côté inconnu :

Si l'inconnue est au numérateur : on multiplie les deux membres par le dénominateur.
Si l'inconnue est au dénominateur : on divise le côté connu par la valeur trigonométrique.

$\cos 35° = \dfrac{AC}{10}$ → $AC = 10 \times \cos 35°$ .

Étape 4 —

Calculer la valeur numérique à l'aide de la calculatrice et arrondir si nécessaire.

$AC = 10 \times \cos 35° \approx 10 \times 0{,}8192 \approx 8{,}19\,\mathrm{cm}$ .

$AC \approx 8{,}19\,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $F$ , on a $\hat{D} = 48°$ et $DE = 7\,\mathrm{cm}$ . Calculer $EF$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $PQR$ rectangle en $R$ , on a $\hat{P} = 52°$ et $PR = 6\,\mathrm{cm}$ . Calculer $QR$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $MNK$ rectangle en $K$ , on a $\hat{M} = 30°$ et $MN = 12\,\mathrm{cm}$ . Calculer $MK$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $\hat{B} = 62°$ et $BC = 5\,\mathrm{cm}$ . Calculer l'hypoténuse $AB$ .

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