Comment construire l'image d'une figure par une rotation ? | MetMat

Comment construire l'image d'une figure par une rotation ?

En construisant l'image de chaque point sommet : même distance au centre $O$ , angle de rotation mesuré au rapporteur, puis en reliant les images

Construire géométriquement l'image d'une figure par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ .

L'objectif

Construire géométriquement l'image d'une figure par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ .

Le principe

Une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ transforme tout point $M$ en un point $M'$ tel que $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha$ (mesuré dans le sens positif si $\alpha > 0$ , négatif sinon).

La méthode

1
Repérer le centre de rotation $O$ et l'angle de rotation $\alpha$ (ainsi que son sens : direct ou indirect).
2
Pour chaque sommet $M$ de la figure, tracer le segment $[OM]$ et mesurer sa longueur $OM$ .
3
Placer le rapporteur sur $O$ en alignant son axe sur $[OM]$ , puis marquer l'angle $\alpha$ dans le bon sens pour obtenir la direction de $[OM']$ .
4
Reporter la distance $OM' = OM$ sur cette nouvelle direction pour placer le point image $M'$ .
5
Répéter les étapes 2 à 4 pour chaque sommet, puis relier les points images dans le même ordre que les sommets d'origine pour obtenir la figure image.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On donne un triangle $ABC$ avec $A(1,0)$ , $B(3,0)$ , $C(3,2)$ et le centre de rotation $O(0,0)$ . Construire l'image du triangle par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens direct.

Étape 1 —

Repérer le centre de rotation

O

et l'angle de rotation

\alpha

(ainsi que son sens : direct ou indirect).

Centre $O(0,0)$ , angle $\alpha = 90°$ , sens direct (sens antihoraire).

Étape 2 —

Pour chaque sommet

M

de la figure, tracer le segment

[OM]

et mesurer sa longueur

OM

Pour $A(1,0)$ : $OA = 1$ . Pour $B(3,0)$ : $OB = 3$ . Pour $C(3,2)$ : $OC = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}$ .

Étape 3 —

Placer le rapporteur sur

O

en alignant son axe sur

[OM]

, puis marquer l'angle

\alpha

dans le bon sens pour obtenir la direction de

[OM']

On mesure $90°$ dans le sens direct à partir de chaque segment $[OM]$ . Pour $A$ sur l'axe des abscisses, la nouvelle direction est l'axe des ordonnées.

Étape 4 —

Reporter la distance

OM' = OM

sur cette nouvelle direction pour placer le point image

M'

On reporte les distances : $A'(0,1)$ , $B'(0,3)$ , $C'(-2,3)$ .

Étape 5 —

Répéter les étapes 2 à 4 pour chaque sommet, puis relier les points images dans le même ordre que les sommets d'origine pour obtenir la figure image.

On relie $A'$ , $B'$ , $C'$ pour obtenir le triangle image $A'B'C'$ .

Le triangle image $A'B'C'$ a pour sommets $A'(0,1)$ , $B'(0,3)$ et $C'(-2,3)$ .

Application guidée

On donne un carré $ABCD$ avec $A(1,1)$ , $B(3,1)$ , $C(3,3)$ , $D(1,3)$ et le centre $O(2,2)$ . Construire l'image par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens direct.

Application autonome 1

Un segment $[AB]$ avec $A(2,0)$ et $B(2,2)$ subit une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $-90°$ (sens indirect). Construire l'image.

Application autonome 2

Un triangle équilatéral $PQR$ avec $P(2,0)$ , $Q(4,0)$ , $R(3,\sqrt{3})$ subit une rotation de centre $O(0,0)$ d'angle $60°$ dans le sens direct. Construire l'image.

Application autonome 3

Un point $M(3,1)$ subit une rotation de centre $O(1,1)$ et d'angle $180°$ . Trouver l'image $M'$ .

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En construisant l'image de chaque point sommet : même distance au centre OOO, angle de rotation mesuré au rapporteur, puis en reliant les images

Pour comprendre, fais des exercices !

En construisant l'image de chaque point sommet : même distance au centre $O$ , angle de rotation mesuré au rapporteur, puis en reliant les images