Comment identifier une transformation dans une figure ? | MetMat

Comment identifier une transformation dans une figure ?

En cherchant le centre invariant (rotation ou homothétie), puis en calculant l'angle (rotation) ou le rapport (homothétie) à partir de deux points homologues

Identifier si une transformation est une rotation ou une homothétie, trouver son centre, et déterminer son angle ou son rapport.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On sait que $A(2,0)$ et $A'(0,2)$ , $B(4,0)$ et $B'(0,4)$ , avec un centre $O(0,0)$ . S'agit-il d'une rotation ou d'une homothétie ? Déterminer ses caractéristiques.

L'objectif

Identifier si une transformation est une rotation ou une homothétie, trouver son centre, et déterminer son angle ou son rapport.

Le principe

Pour une rotation : les droites $(MM')$ ne passent pas par un point commun, mais les médiatrices de $[MM']$ sont concourantes en $O$ . Pour une homothétie : les droites $(MM')$ sont toutes concourantes en un même point $O$ (le centre). On distingue les deux car une rotation conserve les longueurs ( $OM = OM'$ ) alors qu'une homothétie les multiplie par $|k|$ .

La méthode

1
Repérer deux paires de points homologues, par exemple $(A, A')$ et $(B, B')$ .
2
Tracer les droites $(AA')$ et $(BB')$ . Si elles sont concourantes en un point $O$ , il peut s'agir d'une homothétie (ou d'une translation si elles sont parallèles). Si elles ne se croisent pas au même endroit, chercher les médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ : leur intersection est le centre d'une rotation.
3
Vérifier la nature de la transformation : si $OA = OA'$ (distances égales), c'est une rotation. Si $OA' \neq OA$ , calculer $k = \frac{OA'}{OA}$ (positif si $A'$ est du même côté que $A$ , négatif sinon) pour une homothétie.
4
Si c'est une rotation : mesurer l'angle $\widehat{AOA'}$ au rapporteur (avec son sens) pour obtenir l'angle de rotation $\alpha$ .
5
Vérifier avec une deuxième paire de points homologues que l'angle $\widehat{BOB'} = \alpha$ (ou que le rapport $\frac{OB'}{OB} = k$ ) pour confirmer l'identification.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On sait que $A(2,0)$ et $A'(0,2)$ , $B(4,0)$ et $B'(0,4)$ , avec un centre $O(0,0)$ . S'agit-il d'une rotation ou d'une homothétie ? Déterminer ses caractéristiques.

Étape 1 —

Repérer deux paires de points homologues, par exemple

(A, A')

(B, B')

Paires homologues : $(A(2,0), A'(0,2))$ et $(B(4,0), B'(0,4))$ .

Étape 2 —

Tracer les droites

(AA')

(BB')

. Si elles sont concourantes en un point

O

, il peut s'agir d'une homothétie (ou d'une translation si elles sont parallèles). Si elles ne se croisent pas au même endroit, chercher les médiatrices de

[AA']

[BB']

: leur intersection est le centre d'une rotation.

Droites $(AA')$ et $(BB')$ : $(AA')$ passe par $(2,0)$ et $(0,2)$ , équation $x+y=2$ ; $(BB')$ passe par $(4,0)$ et $(0,4)$ , équation $x+y=4$ . Ces droites sont parallèles, pas concourantes en $O$ . On cherche les médiatrices : médiatrice de $[AA']$ : perpendiculaire en milieu $(1,1)$ , direction $(1,-1)$ … mais on peut aussi constater $OA = OA' = 2$ et $OB = OB' = 4$ .

Étape 3 —

Vérifier la nature de la transformation : si

OA = OA'

(distances égales), c'est une rotation. Si

OA' \neq OA

, calculer

k = \frac{OA'}{OA}

(positif si

A'

est du même côté que

A

, négatif sinon) pour une homothétie.

$OA = \sqrt{4+0} = 2$ et $OA' = \sqrt{0+4} = 2$ : distances égales. C'est une rotation de centre $O(0,0)$ .

Étape 4 —

Si c'est une rotation : mesurer l'angle

\widehat{AOA'}

au rapporteur (avec son sens) pour obtenir l'angle de rotation

\alpha

Angle $\widehat{AOA'}$ : $\overrightarrow{OA} = (1,0)$ , $\overrightarrow{OA'} = (0,1)$ . L'angle est $90°$ dans le sens direct.

Étape 5 —

Vérifier avec une deuxième paire de points homologues que l'angle

\widehat{BOB'} = \alpha

(ou que le rapport

\frac{OB'}{OB} = k

) pour confirmer l'identification.

Vérification avec $B$ : $\overrightarrow{OB} = (1,0)$ (même direction que $A$ ), $\overrightarrow{OB'} = (0,1)$ , angle $= 90°$ direct. ✓

C'est une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $90°$ dans le sens direct.

Application guidée

On donne $A(1,1)$ , $A'(2,2)$ , $B(1,3)$ , $B'(2,6)$ , et on suppose que le centre est $O(0,0)$ . S'agit-il d'une rotation ou d'une homothétie ?

Application autonome 1

On donne $M(3,0)$ et son image $M'(-6,0)$ , avec centre $O(0,0)$ . Identifier la transformation.

Application autonome 2

Un triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ sont tels que $A(0,2)$ , $A'(0,-2)$ , $B(2,2)$ , $B'(-2,-2)$ , $C(2,4)$ , $C'(-2,-4)$ . Centre $O(0,0)$ . Identifier la transformation.

Application autonome 3

On donne deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ où $A(4,0)$ , $A'(0,4)$ , $B(4,2)$ , $B'(-2,4)$ . Le centre supposé est $O(0,0)$ . Déterminer la transformation.

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