En appliquant $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Calculer la probabilité de la réunion de deux événements en évitant de compter deux fois les issues appartenant aux deux événements.

L'objectif

Calculer la probabilité de la réunion de deux événements en évitant de compter deux fois les issues appartenant aux deux événements.

Le principe

La réunion $A \cup B$ contient les issues de $A$ et celles de $B$ . Si on additionne $P(A)$ et $P(B)$ , on compte deux fois les issues dans $A \cap B$ . La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ corrige cela. Cas particulier : si $A$ et $B$ sont incompatibles (sans issue commune), alors $P(A \cap B) = 0$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

La méthode

1
Identifier les événements $A$ et $B$ en précisant quelles issues les composent.
2
Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ (probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux).
Comment calculer la probabilité d'un événement ?Voir
3
Appliquer la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
4
Vérifier que le résultat est bien compris entre 0 et 1.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Étape 1 —

Identifier les événements

A

B

en précisant quelles issues les composent.

$A = \{2, 4, 6\}$ (nombres pairs), $B = \{3, 6\}$ (multiples de 3).

Étape 2 —

Calculer

P(A)

P(B)

P(A \cap B)

(probabilité que

A

B

se réalisent tous les deux).

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $A \cap B = \{6\}$ donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Étape 4 —

Vérifier que le résultat est bien compris entre 0 et 1.

$\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ , bien compris entre 0 et 1.

$P(A \cup B) = \frac{2}{3}$

Application guidée

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. $A$ = « tirer un cœur », $B$ = « tirer une figure (valet, dame, roi) ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 1

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. $A$ = « tirer un nombre impair », $B$ = « tirer un nombre supérieur à 7 ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 2

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir 1 » et $B$ = « obtenir 2 ». Ces événements sont-ils incompatibles ? Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 3

Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport, 12 jouent d'un instrument et 6 font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique un sport ou joue d'un instrument.

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En appliquant P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$