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Raisonnement et vocabulaire ensembliste — cours et méthodes ECG1… | MetMat
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ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 1ère année Maths Appliquées
Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Techniques de démonstration (implication, équivalence, négation, contraposée, absurde, récurrence), vocabulaire ensembliste et applications, manipulation des sommes finies.
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0/16 maîtrisées
1
Maîtriser
Comment démontrer une implication
H
⇒
P
H \Rightarrow P
H
⇒
P
?
Nouveau
Comment démontrer une équivalence ?
En prouvant séparément les deux implications directes et réciproques
Nouveau
En raisonnant par équivalences successives (chaîne de
⟺
\iff
⟺
)
Nouveau
Comment formuler la négation d'une proposition ?
Nouveau
Comment démontrer une proposition par contraposée ou par l'absurde ?
En raisonnant par contraposée (prouver
¬
P
⇒
¬
H
\neg P \Rightarrow \neg H
¬
P
⇒
¬
H
)
Nouveau
En raisonnant par l'absurde (supposer le contraire et exhiber une contradiction)
Nouveau
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?
En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité
P
(
n
)
⇒
P
(
n
+
1
)
P(n)\Rightarrow P(n+1)
P
(
n
)
⇒
P
(
n
+
1
)
)
Nouveau
En menant une récurrence forte ou à deux pas lorsque
P
(
n
+
1
)
P(n+1)
P
(
n
+
1
)
dépend de plusieurs rangs antérieurs
Nouveau
Comment infirmer une proposition universelle ?
Nouveau
Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?
En montrant une inclusion par appartenance :
x
∈
A
⇒
x
∈
B
x\in A \Rightarrow x\in B
x
∈
A
⇒
x
∈
B
Nouveau
En démontrant la double inclusion
A
⊂
B
A\subset B
A
⊂
B
et
B
⊂
A
B\subset A
B
⊂
A
pour obtenir
A
=
B
A=B
A
=
B
Nouveau
Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?
En vérifiant l'injectivité par
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⇒
x
=
y
f(x)=f(y)\Rightarrow x=y
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⇒
x
=
y
Nouveau
En vérifiant la surjectivité : tout
y
y
y
de l'arrivée admet un antécédent
Nouveau
En résolvant l'équation
f
(
x
)
=
y
f(x)=y
f
(
x
)
=
y
pour construire explicitement
f
−
1
f^{-1}
f
−
1
Nouveau
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?
En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique (
∑
k
\sum k
∑
k
,
∑
k
2
\sum k^2
∑
k
2
,
∑
q
k
\sum q^k
∑
q
k
)
Nouveau
En effectuant un changement d'indice ou une disjonction des indices
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.