Comment démontrer une… : En supposant H vraie et en déduisant P… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment démontrer une implication $H \Rightarrow P$ ?

En supposant $H$ vraie et en déduisant $P$ par enchaînement logique

Démontrer une implication $H \Rightarrow P$ en partant de $H$ et en arrivant à $P$ par une suite d'arguments valides.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , si $x \geq 2$ alors $x^2 \geq 4$ .

L'objectif

Démontrer une implication $H \Rightarrow P$ en partant de $H$ et en arrivant à $P$ par une suite d'arguments valides.

Le principe

Pour établir $H \Rightarrow P$ , il suffit de supposer $H$ vraie et, à l'aide de définitions, théorèmes et calculs, d'en déduire que $P$ est vraie.

La méthode

1
Je suppose que l'hypothèse $H$ est vérifiée et j'explicite toutes les données qu'elle fournit.
2
J'enchaîne des déductions (définitions, théorèmes dont je vérifie les hypothèses, calculs algébriques) pour transformer $H$ en informations nouvelles.
3
Je conclus en constatant que les déductions obtenues entraînent exactement la proposition $P$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , si $x \geq 2$ alors $x^2 \geq 4$ .

Étape 1 —

Je suppose que l'hypothèse

H

est vérifiée et j'explicite toutes les données qu'elle fournit.

Je suppose $x \geq 2$ ; en particulier $x > 0$ , donc $x$ est positif.

Étape 2 —

J'enchaîne des déductions (définitions, théorèmes dont je vérifie les hypothèses, calculs algébriques) pour transformer

H

en informations nouvelles.

Puisque la fonction $t \mapsto t^2$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$ , de $x \geq 2$ je déduis $x^2 \geq 2^2 = 4$ .

Étape 3 —

Je conclus en constatant que les déductions obtenues entraînent exactement la proposition

P

J'ai bien obtenu $x^2 \geq 4$ , ce qui conclut l'implication.

$\forall x \in \mathbb{R}, \;x \geq 2 \Rightarrow x^2 \geq 4$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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