Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?

Je pose $P(n) : u_n = 2^{n+1} - 1$. La récurrence $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ fait intervenir deux rangs antérieurs, donc je choisis une récurrence à deux pas.

Initialisation : $u_0 = 1 = 2^1 - 1$ et $u_1 = 3 = 2^2 - 1$ ; $P(0)$ et $P(1)$ sont vraies.

Hérédité : je suppose $P(n)$ et $P(n+1)$, soit $u_n = 2^{n+1} - 1$ et $u_{n+1} = 2^{n+2} - 1$. Alors $u_{n+2} = 3(2^{n+2} - 1) - 2(2^{n+1} - 1) = 3 \cdot 2^{n+2} - 2 \cdot 2^{n+1} - 1 = 3 \cdot 2^{n+2} - 2^{n+2} - 1 = 2 \cdot 2^{n+2} - 1 = 2^{n+3} - 1$, ce qui est $P(n+2)$.

Par récurrence à deux pas, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.