Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?

En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ )

L'objectif

Démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ par récurrence simple.

Le principe

Principe de récurrence : si $P(n_0)$ est vraie et si $\forall n \geq n_0, P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $\forall n \geq n_0, P(n)$ est vraie.

La méthode

1
J'énonce clairement la propriété $P(n)$ à démontrer et le rang initial $n_0$ .
2
Initialisation : je vérifie $P(n_0)$ par calcul direct.
3
Hérédité : je suppose $P(n)$ vraie pour un $n \geq n_0$ quelconque fixé (hypothèse de récurrence), et j'en déduis $P(n+1)$ .
4
Je conclus par le principe de récurrence : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)P(n)⇒P(n+1))