Comment montrer qu'une… : En résolvant l'équation f(x)=y pour… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En résolvant l'équation $f(x)=y$ pour construire explicitement $f^{-1}$

Démontrer qu'une application $f\colon E\to F$ est bijective et expliciter sa réciproque $f^{-1}\colon F\to E$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , $x\mapsto \frac{x-1}{x+1}$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

L'objectif

Démontrer qu'une application $f\colon E\to F$ est bijective et expliciter sa réciproque $f^{-1}\colon F\to E$ .

Le principe

$f$ est bijective si et seulement si, pour tout $y\in F$ , l'équation $f(x)=y$ admet une unique solution $x\in E$ ; cette solution définit alors $f^{-1}(y)$ .

La méthode

1
Je me donne $y\in F$ et je pose l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x\in E$ .
2
Je résous cette équation par équivalences successives pour obtenir une unique valeur de $x$ en fonction de $y$ , et je vérifie que $x\in E$ .
Comment démontrer une équivalence ?Voir
3
J'en déduis que $f$ est bijective et je lis $f^{-1}\colon y\mapsto x(y)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , $x\mapsto \frac{x-1}{x+1}$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

Étape 1 —

Je me donne

y\in F

et je pose l'équation

f(x)=y

d'inconnue

x\in E

Soit $y\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; je pose $\frac{x-1}{x+1}=y$ avec $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Étape 2 —

Je résous cette équation par équivalences successives pour obtenir une unique valeur de

x

en fonction de

y

, et je vérifie que

x\in E

L'équation équivaut à $x-1=y(x+1)$ , soit $x(1-y)=1+y$ et donc $x=\frac{1+y}{1-y}$ , défini car $y\neq 1$ . De plus $x\neq -1$ car $\frac{1+y}{1-y}=-1\Leftrightarrow 1+y=-(1-y)\Leftrightarrow 2=0$ , impossible.

Étape 3 —

J'en déduis que

f

est bijective et je lis

f^{-1}\colon y\mapsto x(y)

L'antécédent existe et est unique : $f$ est bijective et $f^{-1}(y)=\frac{1+y}{1-y}$ .

$f$ est bijective et $f^{-1}\colon y\mapsto \frac{1+y}{1-y}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En résolvant l'équation f(x)=yf(x)=yf(x)=y pour construire explicitement f−1f^{-1}f−1

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $f(x)=y$ pour construire explicitement $f^{-1}$