Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ? | MetMat

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En vérifiant la surjectivité : tout $y$ de l'arrivée admet un antécédent

Prouver qu'une application $f\colon E\to F$ est surjective, c'est-à-dire que tout élément de $F$ possède au moins un antécédent dans $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^*$ , $x\mapsto e^x$ , est surjective.

L'objectif

Prouver qu'une application $f\colon E\to F$ est surjective, c'est-à-dire que tout élément de $F$ possède au moins un antécédent dans $E$ .

Le principe

Une application $f\colon E\to F$ est surjective si et seulement si $\forall y\in F,\;\exists x\in E,\;f(x)=y$ .

La méthode

1
Je me donne $y\in F$ quelconque et je cherche à résoudre l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x\in E$ .
2
Je résous explicitement cette équation et je vérifie que la valeur de $x$ obtenue appartient bien à $E$ .
3
Comme $y$ était arbitraire, tout élément de $F$ admet un antécédent : $f$ est surjective.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^*$ , $x\mapsto e^x$ , est surjective.

Étape 1 —

Je me donne

y\in F

quelconque et je cherche à résoudre l'équation

f(x)=y

d'inconnue

x\in E

Soit $y\in\mathbb{R}_+^*$ ; je cherche $x\in\mathbb{R}$ tel que $e^x=y$ .

Étape 2 —

Je résous explicitement cette équation et je vérifie que la valeur de

x

obtenue appartient bien à

E

Comme $y>0$ , je pose $x=\ln(y)\in\mathbb{R}$ et je vérifie $e^x=e^{\ln y}=y$ .

Étape 3 —

Comme

y

était arbitraire, tout élément de

F

admet un antécédent :

f

est surjective.

Tout $y\in\mathbb{R}_+^*$ admet $\ln(y)$ comme antécédent, donc $f$ est surjective.

$x\mapsto e^x$ est surjective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .

Application guidée

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto 2x+3$ , est surjective.

Application autonome 1

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to[-1,1]$ , $x\mapsto \sin(x)$ , est surjective mais que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto \sin(x)$ , ne l'est pas.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^3-1$ , est surjective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^2-4$ , n'est pas surjective.

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En vérifiant la surjectivité : tout yyy de l'arrivée admet un antécédent

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la surjectivité : tout $y$ de l'arrivée admet un antécédent