Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ? | MetMat

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En résolvant l'équation $f(x)=y$ pour construire explicitement $f^{-1}$

Démontrer qu'une application $f\colon E\to F$ est bijective et expliciter sa réciproque $f^{-1}\colon F\to E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , $x\mapsto \frac{x-1}{x+1}$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

L'objectif

Démontrer qu'une application $f\colon E\to F$ est bijective et expliciter sa réciproque $f^{-1}\colon F\to E$ .

Le principe

$f$ est bijective si et seulement si, pour tout $y\in F$ , l'équation $f(x)=y$ admet une unique solution $x\in E$ ; cette solution définit alors $f^{-1}(y)$ .

La méthode

1
Je me donne $y\in F$ et je pose l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x\in E$ .
2
Je résous cette équation par équivalences successives pour obtenir une unique valeur de $x$ en fonction de $y$ , et je vérifie que $x\in E$ .
Comment démontrer une équivalence ?Voir
3
J'en déduis que $f$ est bijective et je lis $f^{-1}\colon y\mapsto x(y)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , $x\mapsto \frac{x-1}{x+1}$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

Étape 1 —

Je me donne

y\in F

et je pose l'équation

f(x)=y

d'inconnue

x\in E

Soit $y\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; je pose $\frac{x-1}{x+1}=y$ avec $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Étape 2 —

Je résous cette équation par équivalences successives pour obtenir une unique valeur de

x

en fonction de

y

, et je vérifie que

x\in E

L'équation équivaut à $x-1=y(x+1)$ , soit $x(1-y)=1+y$ et donc $x=\frac{1+y}{1-y}$ , défini car $y\neq 1$ . De plus $x\neq -1$ car $\frac{1+y}{1-y}=-1\Leftrightarrow 1+y=-(1-y)\Leftrightarrow 2=0$ , impossible.

Étape 3 —

J'en déduis que

f

est bijective et je lis

f^{-1}\colon y\mapsto x(y)

L'antécédent existe et est unique : $f$ est bijective et $f^{-1}(y)=\frac{1+y}{1-y}$ .

$f$ est bijective et $f^{-1}\colon y\mapsto \frac{1+y}{1-y}$ .

Application guidée

Montrer que $f\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $x\mapsto x^2$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

Application autonome 1

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^*$ , $x\mapsto e^x$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto 3x-4$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^3+1$ , est bijective et déterminer sa réciproque.

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En résolvant l'équation f(x)=yf(x)=yf(x)=y pour construire explicitement f−1f^{-1}f−1

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $f(x)=y$ pour construire explicitement $f^{-1}$